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Exerc´ ıcios - S´ries Num´ricas e e
1. Estude a natureza das s´ries seguintes e, no caso de estas serem convergentes, calcule o e valor das suas somas.

∞

a) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − ...;
∞

b) n=0 ∞

3−(5n+1) ; 2n + 3n ; 6n π n+1 e−2n−1 ; n=0 π π c) sin − sin ; n n+2 n=1
∞

d) n=1 ∞

e) n=1 1 ; 2 + 2n n

f)

2. Indique, justificando, os valores de x para os quais s˜o convergentes as s´ries seguintes. a e

∞

a) n=1 ∞

1 (1 + |x|)n x 3 n ∞

b) n=1 (log x)n

c) n=1 tan

3. Estude a natureza das s´ries seguintes. e

∞

a) n=1 ∞

(−1) arctan

n

1 ; 1 + 2n

∞

b) n=1 ∞

(−1)n 1 − cos

1 n

;

3n + 1 c) (−1) ; n(n + 1) n=1 n d) n=1 (−1)n

log n ; n

1

An´lise Matem´tica (II) a a 4. Determine a natureza das seguintes s´ries por um crit´rio de compara¸˜o. e e ca

∞

a) n=1 ∞

√ n+n ; √ √ 2 5 n n + 3 + n2 n 1 arcsin ; n2 + 3 n 1 1 log 1 + ; n n √

∞

b) n=1 ∞

cos n − 2 ; 5n 1 ; n

c) n=1 ∞

d) n=1 log 1 +

e) n=1 5. Use o crit´rio da Raz˜o ou o crit´rio de d’Alembert para determinar a natureza das s´ries. e a e e

∞

a) n=1 ∞

2n (2n)! ; nn 2.4...(2n + 2) 1.3...(2n + 3)

∞

b)$ n=1 1.3...(2n + 1) 4.8...(4n + 4)

c) n=0 6. Use o crit´rio da Raiz ou o crit´rio da Raiz de Cauchy para determinar a natureza da e e s´rie. e
∞

a) n=1 1 1 + 2 2 n

n2

∞

b) n=1 sin

π n

n

∞

c) n=1 1 n.4n

2

An´lise Matem´tica (II) a a

7. Estude quanto ` convergˆncia simples e absoluta as s´ries seguintes: a e e √ √

∞

a) n=1 ∞

1+

2 + ... + n2 + 1

n

∞

;

b) n=1 ∞

5n − 3 ; 3n + 5 π + nπ tan 2 π ; n

c) n=1 ∞

1.3.5...(2n − 1) ; 2.4.6...2n log n2n ; nn

d) n=3 ∞

sin

e) n=1 f) n=1 2n

n! ; + nn se n par;
3

∞

g) n=1 1 + n(−1)n ; 1 + 2n3

 1  ∞  n, h) an , an = n n   n=1  1 − 3n

. , se n ´ ımpar

8. Determine a soma das seguintes s´ries: e

∞