niwlton

MÉTODO DE NEWTON PARA SISTEMAS NÃO LINEARES
__

 F( x, y)  0
 x  F ( x , y)
Tomemos o sistema 
, ele pode ser reescrito na forma 
, onde a
__
G ( x, y)  0

y

G
(
x
,
y
)


__ __

solução a ser determinada é u  ( x , y ) .
__ __
F G F G
Considerando que D( x, y)  .
 .
 0 esteja em uma vizinhança de u  ( x , y ) ,
x y y x utilizaremos o Método de Newton para encontrar a solução deste sistema. Tal método consiste em um algoritmo que chega a tal solução de forma iterativa.
Num primeiro momento, escolhe-se x0 e y0 como valores iniciais da solução do sistema. A partir daí usamos as fórmulas iterativas abaixo para obtenção das seqüências ...

xr 1



G   F
  F ( x, y ) .
  
. G ( x, y )  
y   y


 xr   

 F G   F G 






.

.
 x y   y x 



 




(1)

y r 1

  F
G  
 

.G ( x, y )    F ( x, y ).

  x
x  


 yr  

 F G   F G 



  

.
.


 x  y  y  x 
 




O índice r indica que o cálculo é feito para xr e yr .
Se as seqüências forem CONVERGENTES, então elas convergem para a SOLUÇÃO do sistema. Exemplo :
• Encontre, usando o método de Newton para sistemas transcendentes, a solução do sistema
x 2  y  1  0
.
 2
y  x  1  0

Resolução :
Temos F(x, y ) = x2 + y – 1 e G(x, y ) = y2 + x – 1, logo encontramos as derivadas parciais de primeira ordem são:

F
 2x
x

G
1
x
Utilizando as fórmulas ( 1 ), temos :

F
1
y

G
 2y
y

F
y

F( x , y)

F
x

G
y
F
y

G
x

G
y

G ( x , y) x r 1  x r 

F
x

e

y r 1  y r 

G
x
F
x

F( x , y)

G ( x , y)

G
x

F
y
G
y

x  1
Considerando  0 e utilizando as fórmulas acima, obtemos :
y 0  1
x 1  0,67

 y1  0,67

x 2  0,62

 y 2  0,62

x 3  0,62

 y 3  0,62

x  x 3  0,62
Como temos  2 então a solução do sistema é S = { ( 0,62 ; 0,62 ) }
 y 2  y 3  0,62

.

Exercícios :
Encontre, usando o método de Newton para sistemas não