Modelagem de equações diferenciais

Modelagem via equac¸o˜ es diferenciais ordin´arias Aluno: Antonio Carlos Mateus da Silva
Orientador: Marcone Corrˆea Pereira

[e-mail] [e-mail] E SCOLA DE A RTES , C I Eˆ NCIAS E H UMANIDADES
˜ PAULO , S AO
˜ PAULO - SP - B RASIL
U NIVERSIDADE DE S AO
Introduc¸a˜ o
Este trabalho modela a populac¸a˜ o de uma esp´ecie de lagarta, conhecida como “Spruce budworm (ou Choristoneura) e identificada na figura 1.
Tal esp´ecie representa um grande problema para o Canad´a visto que pode, com certa ferocidade, destruir um tipo de vegetac¸a˜ o da regi˜ao, cujo nome cient´ıfico Abies balsamea. No modelo, considera-se n˜ao s´o o crescimento da populac¸a˜ o em si como tamb´em a predac¸a˜ o de uma esp´ecie de rouxinol (Setophaga tigrina). A partir deste modelo, ser˜ao feitas algumas considerac¸o˜ es levando-se em conta o comportamento da func¸a˜ o de predac¸a˜ o.

Figura 2
De acordo com a figura 2, observa-se que existem, desconsiderando o
0, um, dois ou trˆes estados.
O n´umero de estados de equilibrio depender´a dos valores de q e r.
Consideremos o caso espec´ıfico de dois estados de equilibrio. Isso s´o ocorre quando as curvas se interceptam tangencialmente. Assim, os estados devem ser soluc¸o˜ es do seguinte sistema:
1−u2
= − (1+u2)2 u u r(1 − q ) = 1+u2 r q

Figura 1: Lagarta da esp´ecie “Spruce budworm

Resolvendo o sistema acima, temos:
2a3
2a3 r= eq= 2
2
2
(1 + a ) a −1

Modelo proposto
Segundo Ludwig et al. (1978), a populac¸a˜ o de lagartas pode ser modelada pela equac¸a˜ o: dN N
= rB N (1 −
) − p(N ) , dt KB

Podemos plotar um gr´afico no qual para cada valor de a, existe um ponto (q,r) correspondente no plano. Ao fazermos isso, usando o Mathematica, teremos:

onde p(N) deve se aproximar de um limite (A > 0) quando N tender a infinito e, quando N tender a 0, deve se aproximar de 0 mais rapidamente do que N. Em termos prticos, isso significa que a predac¸a˜ o deve saturar quando a