Maximos E Minimos 20141120135435

FACULDADE PITÁGORAS - UBERLÂNDIA CURSO básico de ENGENHARIA pROF: PATRÍCIA COSTA

Máximos e mínimos de funções de duas variáveis

Definição: Uma função de duas variáveis tem um máximo local em (a,b) se quando (x,y) está próximo de (a,b). (Isso significa que para todo ponto (x, y) em algum disco com centro (a,b).) O número f(a,b) é chamado valor máximo local. Se quando (x,y), então f(a,b) é um valor mínimo local. Se as inequações da definição acima valerem para todos os pontos (x, y) do domínio de f tem um máximo absoluto (ou mínimo absoluto) em (a, b).

Teorema: Se uma função f tem um máximo local ou um mínimo local em (a, b) e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então e .

Um ponto (a,b) é dito ponto crítico (ou ponto estacionário) de f se e , ou se uma das derivadas parciais não existir. O teorema acima diz que se f tem um máximo ou mínimo local em (a, b), então (a, b) é um ponto crítico de f. Entretanto, como no cálculo de uma única variável, nem todos pontos críticos correspondem a um máximo ou mínimo. Num ponto crítico, a função pode ter um máximo local ou um mínimo local, ou ainda nenhum dos dois.

Teste da segunda derivada: Suponha que as segundas derivadas parciais de f sejam contínuas num disco com centro (a,b), e suponha que e .[ou seja, (a,b) é um ponto crítico de f]. Seja
a) Se H>0 e , então é um mínimo local.
b) Se H>0 e , então é um máximo local.
c) Se H<0, não é nem mínimo local nem máximo local, o ponto (a,b) é chamado ponto de sela.
Obs.: Se H = 0, o teste não fornece informação: f pode ter um máximo local ou um mínimo local em (a,b), ou (a,b) pode ser um ponto de sela de f.

Exemplos:
1) Determine os valores de máximo e mínimo locais e os pontos de sela de .

2) Seja , determine seu(s) extremo(s).

3) Determine os valores extremais de .