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Módulo IV – Operações com transformações Lineares

Operações com transformações Lineares:

Adição: Sejam F: U→V e G: U→V transformações lineares. Chamamos soma das transformações F e G à transformação F + G: U→V dada por (F+G)(u) = F(u) + G(u), para qualquer vetor u pertencente a U.

Multiplicação por Escalar: Sejam F: U→V e k pertencente ao conjunto dos números reais, chamamos de produto de F por k à transformação kF: U→V dada por (kF)(u) = kF(u), para qualquer u pertencente a U.

Composição: Sejam F: U→V e G: V→W transformações lineares. Chamamos de função composta de G com F e denotamos GoF, a transformação GoF: U→W dada por (GoF)(u) = G(F(u)), para qualquer vetor pertencente a U.

Exemplos:

Sendo f1: R2→R2, f1(x,y) = (x-2y,2x+y) e f2: R2→R2, f2(x,y) = (x, x-y) temos:

a) f1 + f2 = (x-2y+x, 2x+y+x-y) = (2x-2y, 3x)

b)3f1 – 2f2 = 3.(x-2y,2x+y) – 2.(x, x-y) = (3x-6y,6x+3y) – (2x,2x-2y) = (3x-6y-2x, 6x+3y-2x+2y) = (x-6y, 4x+5y)

c) F1 o F2 = (x-2(x-y), 2(x)+(x-y)) = (x-2x+2y, 2x+x-y) = (-x+2y, 3x-y)

d) F2 o F1 = (x-2y, x-2y-(2x+y)) = (x-2y, x-2y-2x-y) = (x-2y, -x-3y)

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Transformação Linear:

Sendo U e V espaços vetoriais e F: U→V, F uma função com domínio U e contradomínio V:

Dizemos que uma função F é uma transformação linear se valem as condições:

(1) Para qualquer vetor u1 e u2 pertencente a U, F(u1 + u2) = F(u1) + F(u2)

(2) Para qualquer vetor u pertencente a U e para qualquer número real a pertencente ao conjunto dos números reais, F(a.u) = a.F(u)

(3) Se uma função leva o vetor nulo de U em um vetor não nulo de V, isto é, F(0U) diferente de 0V, então, ela não pode ser linear.

Exemplo: Verifique se as funções dadas a seguir são lineares:

a) F: R2→R, definida por F(x,y) = 2x + y + 7

Solução: F(0,0) = 2.0 + 0 + 7 = 7, então, F(0,0) diferente de 0, portanto, não é função linear.

b) G: R2→R2, definida por G(x,y) = (2x, 3x+4y)

Solução: G(0,0)