Matemática

MA11 - Unidades 1 e 2
Conjuntos
Aula 1.2 - A Rela¸˜o de Inclus˜o ca a
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM

24 de Fevereiro de 2013

A rela¸˜o de inclus˜o ca a
Sejam A e B dois conjuntos.
A ⊂ B (A est´ contido em B, ou A ´ subconjunto de B) se: a e todo elemento de A ´ elemento de B, e isto ´, x ∈ A ⇒ x ∈ B. e Ent˜o, A ⊂ B se, e somente se: existe pelo menos um elemento a a tal que a ∈ A e a ∈ B, isto ´, x ∈ A ⇒ x ∈ B.
/
e

PROFMAT - SBM

MA11 - Unidades 1 e 2 , Conjuntos

slide 2/1

A rela¸˜o de pertencer e a inclus˜o ca a
Para Saber Mais:
⊂ : rela¸ao conjunto / conjunto c˜ ∈ : rela¸ao elemento / conjunto c˜ Se a ´ elemento de A, ´ correto dizer a ∈ A ou {a} ⊂ A, mas n˜o e e a ´ correto dizer {a} ∈ A ou a ⊂ A. e Existe uma defini¸ao para a rela¸ao ⊂, mas n˜o para a rela¸ao ∈. c˜ c˜ a c˜
Por quˆ? A rela¸ao ∈ ´ a base do pr´prio conceito de conjunto. e c˜ e o

PROFMAT - SBM

MA11 - Unidades 1 e 2 , Conjuntos

slide 3/1

Propriedades da inclus˜o a (i) reflexividade: A ⊂ A;
(ii) antissimetria: se A ⊂ B e B ⊂ A, ent˜o A = B; a (iii) transitividade: se A ⊂ B e B ⊂ C , ent˜o A ⊂ C . a ∅ ⊂ A, para qualquer conjunto A.
De fato se ∅ ⊂ A, existiria x tal que x ∈ ∅ mas x ∈ A.
/

PROFMAT - SBM

MA11 - Unidades 1 e 2 , Conjuntos

slide 4/1

A propriedade antissim´trica e A⊂B

B⊂A

(x ∈ A ⇒ x ∈ B)

(x ∈ B ⇒ x ∈ A)

A⊂B eB ⊂A
(x ∈ A ⇔ x ∈ B)
A=B

PROFMAT - SBM

MA11 - Unidades 1 e 2 , Conjuntos

slide 5/1

Linguagem
A ´ o conjunto dos elemento que satisfazem a propriedade P. e B ´ o conjunto dos elemento que satisfazem a propriedade Q. e Linguagem de conjuntos

Linguagem da l´gica o matem´tica a A⊂B
B ⊂A
A=B

P ⇒Q
Q⇒P
P ⇔Q

PROFMAT - SBM

MA11 - Unidades 1 e 2 , Conjuntos

slide 6/1

A rec´ ıproca de uma implica¸˜o ca A implica¸ao P ⇒ Q ´ a rec´ c˜ e ıproca da implica¸ao P ⇒ Q. c˜ Exemplo: Seja A um quadril´tero. a A ´ retˆngulo ⇒ A tem lados