Matemática

Matemática II
Elaborado por

Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D. Prof. Rodrigo Leone, D.Sc.

Seção 1
VERSÃO 2010-1

Conteúdos da Seção
Limites – Teoremas – Limites Unilaterais – Exercícios

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Seção 1

1

Limites Introdução
Considere a função

f ( x )=

(3 x + 4 )( x − 2) ( x − 2)

f (x) é definida no domínio

{x ∈ ℝ | x ≠ 2}

3

Seção 1

Limites Introdução
Na proximidade esquerda de x = 2, temos: x 1 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999

f(x)
7 8,5 9,7 9,97 9,997 9,9997

f ( x )=

(3 x+ 4 )( x − 2 ) ( x − 2)

4

Seção 1

2

Limites Introdução
Na proximidade direita de x = 2, temos: f ( x )= x 3 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001

f(x)
13 11,5 10,3 10,03 10,003 10,0003

(3 x+ 4 )( x − 2 ) ( x − 2)

5

Seção 1

Limites Teorema

f (x)=

(3x+ 4)(x − 2) (x − 2)

6

Seção 1

3

Limites Definição
Dizemos que a função (3x+ 4)(x − 2) f (x)= (x − 2) tem limite 10 quando x se aproxima de 2, por números maiores ou menores que 2: lim (3 x+ 4 )( x- 2 ) = 10 x→2 ( x- 2 )
Seção 1

7

Limites Definição
Dizemos que a função f tem limite L quando x se aproxima de a, se podemos fazer o valor de f(x) tão próximo do número L quanto quisermos, tomando x suficientemente próximo (mas não igual) a a. Denotamos esse fato por:

lim f ( x ) = L x →a

Também costumamos dizer que “L é o limite de f(x) quando x tende para a”.
8 Seção 1

4

Limites Utilização em Administração
Determinação de valores máximos e mínimos Auxílio na confecção de gráficos Determinação do custo e receitas marginais

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Seção 1

Limites Teorema
Dada uma função f(x), se

lim f ( x ) = L1 x →a

e

lim f ( x ) = L2 , x →a

Então,

L1 = L2
Em palavras, só existe um único limite para uma função em um determinado ponto.
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5

Limites Teorema
Se c é uma constante, então, para qualquer número a,

lim c = c x →a

O valor do limite para qualquer ponto de uma função constante f(x) = c é o próprio valor de c.

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