Matemática

´ Algebra I Lista 6

Exerc´ ıcio 0.1. Determine todas as solu¸˜es das seguintes equa¸˜es diofantinas lineares. co co i) 56x + 72y = 40 Temos que mdc(56, 72) = 8 e 8|40, portanto h´ solu¸˜es inteiras. a co Uma solu¸˜o particular ´ (2, −1). ca e Todas as outras solu¸˜es s˜o da forma co a x = 2 + 9t, y = −1 − 7t, t ∈ Z.

ii) 24x + 138y = 18 iii) 48x + 7y = 5 Exerc´ ıcio 0.2. Determine o menor inteiro positivo que dividido por 8 e por 15 deixa os restos 6 e 13, respectivamente. Seja n o inteiro positivo. Pelo algoritmo da divis˜o, n = 8q + 6 e n = 15q + 13. a Como n > 0, ent˜o q e q tamb´m s˜o positivos. a e a Assim, 8q + 6 = 15q + 13 =⇒ 8q − 15q = 7. Temos que mdc(8, −15) = 1 e 1|7, portanto h´ solu¸˜o. a ca Uma solu¸˜o particular ´ (−1, −1). ca e Logo, a solu¸˜o geral ´ q = −1 − 15t, q = −1 − 8t, t ∈ Z. ca e 1 Como q, q > 0, ent˜o −1 − 15t > 0 =⇒ t < − 15 e −1 − 8t > 0 =⇒ t < − 1 . a 8 Ent˜o o menor valor positivo de q e q deve ocorrer para t = −1. a Logo, q = 14 e q = 7, o que implica que, n = 118 ou n = 188. Como n ´ o menor inteiro positivo, n = 118. e Exerc´ ıcio 0.3. Exprima 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divis´ por 7 e o segundo seja divis´ por 11. ıvel ıvel Sejam 7x e 11y os inteiros positivos tal que 7x + 11y = 100. Temos mdc(7, 11) = 1 e 1|100, logo h´ solu¸˜o. a ca Observe que 7(−3 · 100) + 11(2 · 100) = 100. Portanto, uma solu¸˜o particular ´ (−300, 200). ca e Logo, a solu¸˜o geral ´ x = −300 + 11t, y = 200 − 7t, t ∈ Z. ca e Como x, y > 0, temos que −300 + 11t > 0 =⇒ t > 300 e 200 − 7t > 0 =⇒ t < 11 Da´ t = 28. Neste caso, x = 8 e y = 4, e os n´meros s˜o 56 e 44. ı, u a

200 7 .

Exerc´ ıcio 0.4. Determine as duas menores fra¸˜es positivas que tenham 13 e 17 para denomco 305 inadores, e cuja soma seja igual a . 221

1

y y x x Sejam 13 e 17 as fra¸˜es positivas tal que 13 + 17 = 17x+13y = 305 . co 221 221 Vamos encontrar os menores inteiros x e y tal que 17x + 13y = 305. Temos mdc(17, 13) = 1 e 1|305, logo