Matemática Aplicada

Fatorial de um número natural
Exemplos:
a) 6! = 6 . 5! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
b) 4! = 4. 3! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
c) 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040
d) 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800
e) 3! = 3 . 2 . 1 = 6
Perceba que 7! = 7 . 6 . 5 . 4!, ou que
6! = 6 . 5 . 4 . 3!, e assim sucessivamente.

Arranjos simples
Exemplo 1
Dado o conjunto A = (1, 2, 3, 4), vamos escrever todos os arranjos desses quatro elementos tomados dois a dois.
(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (4, 1); (4, 2); (4, 3)
Notamos que (2, 3) ≠ (3, 2), isto é, a troca na ordem dos elementos de um possível agrupamento gera um agrupamento diferente.

Exemplo 2
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo?

As sequências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8 (lembrando que são dígitos distintos, ou seja, diferentes).
Aplicando a fórmula de arranjos pelo PFC, chegaremos ao mesmo resultado: 10.9.8 = 720.
Observe que 720 = A10,3
Cálculo do número de arranjos
Seja um conjunto de n elementos distintos. Vamos encontrar uma expressão para o número de arranjos dos n elementos tomados k a k:

(An,k).
A fórmula do Arranjo é:

An,k =

Exemplo 3
Obter o valor de A4,2

n!
(n  k )!

| n≥ k

+ A7,3.

Temos

A4,2 =

4!
4!
=
2!
(4  2)!

=

4.3.2
= 12
2

A7,3 =

7!
7!
=
4!
(7  3)!

=

7.6.5.4!
= 210
4!

Logo o valor de A4,2 + A7,3 será: 12 + 210 = 222

Permutações simples

Exemplo 1
Escrever todos os anagramas da palavra SOL.
Um anagrama da palavra SOL é qualquer permutação das letras S, O, L de modo que se forme uma palavra com ou sem sentido.
Assim, temos: SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO.
Exemplo 2
De