matematica
PROFMAT
DISCIPLINA: MA12
ALUNO: EDUARDO CAVALCANTI
EXERCÍCIOS RECOMENDADOS 3.3
1. Mostre, por indução, a validez das seguintes fórmulas:
(a) 1 2 2 2 3 2
0
1
2
n 2n1 1 (n 1) 2n
Dem.: Vamos provar que é verdadeira, para todo n
, a fórmula:
n 2n1 1 (n 1) 2n .
P(n) : 1 20 2 21 3 22
Observemos inicialmente que P(1) : 1 2 1 0 2 é verdadeira.
0
Suponhamos que, para algum n
1
, tenhamos P(n) verdadeira. Somando
(n 1) 2( n1)1 a ambos os lados dessa igualdade, temos:
1 20 2 21 3 22
n 2n1 (n 1) 2( n1)1 1 (n 1) 2n (n 1) 2( n1)1
1 (n 1) 2n (n 1) 2n 1 (n 1 n 1) 2n 1 2 n 2n 1 n 2n1 , mostrando assim, que P(n 1) é verdadeira.
Portanto, a fórmula é valida para todo n
2
1
1 1
(b) 1 1 ... 1
1 2 n 1
n 1
.
n n1
n 1!
Dem.: Queremos validar a fórmula
1 1
P(n) : 1 1
1 2
2
1
1
n 1
n 1
nn1
n 1!
Note que n 1 0 , ou seja, n 1 . Dessa forma, vamos mostrar a validez para n 2 . Observemos que
1
P(2) : 1
2 1
2 1
221
1 2
1
2 1! 1 1!
é verdadeira.
Agora, suponhamos que para algum natural n 2 , tenhamos P(n)
1 verdadeira. Multiplicando 1
(n 1) 1
n 11
a ambos os lados da igualdade P(n) ,
temos:
1 1
1 1
1 2
2
1
1
n 1
n 1
1
1
(n 1) 1
n 11
nn1
1
1
n 1! (n 1) 1
n 11
nn1 1 n n1 (n 1)n n n1 (n 1)n
(n 1) n
,
1
n! n 1! n n 1! nn
n 1! n nn1 n mostrando assim a veracidade de P(n 1) .
Portanto, a fórmula é valida para todo