matematica

Preliminares
O propósito deste trabalho é estudar os números naturais. Este estudo é muito diferente daquele que é feito no âmbito do Ensino Fundamental porque será um tratamento axiomático dos números naturais.

O primeiro matemático a publicar um tratamento axiomático dos Números Naturais foi Giuseppe Peano. Praticamente, repetiremos os passos de Peano.

Numa teoria axiomática pressupomos conhecer o objeto de estudo e conhecer algumas relações que eles possuem as quais serão aceitas sem demonstração.

A partir daí, podemos definir novos objetos e provar novos resultados sobre eles.

Peano considerou como elemento primitivo o conceito de número natural, isto é, considerou como absolutamento claro o que é um número natural e quais são eles.

O pessoal envolvido com Álgebra considera o 0 como um número natural, pois este número funciona como elemento neutro da adição, mas em estudos históricos, fica claro que o 0 não é um número natural, como se pode ver em Georges Ifrah, História Universal dos Algarismos, vol.1 e 2, Livraria Francisco Alves.

O primeiro número natural é 1 e o próprio trabalho de Peano garante este fato. É importante observar que o número 0, em algum momento deve ser construído, para permitir a ampliação das estruturas matemáticas.

Como relação primitiva entre números naturais Peano considerou a noção de sucessor. Para cada número natural n, conhecemos e podemos considerar o número s(n), seu sucessor.

As leis que expressam algumas relações imediatas entre os números naturais são chamadas axiomas. Peano escolheu 5 axiomas para os números naturais, que serão apresentados na próxima seção. A coleção de todos os números naturais será indicada por N.

Axiomas de Peano
Os cinco axiomas de Peano são os seguintes:

•(P1) 1N, isto é, 1 é um número natural.
•(P2) Todo número natural n possui um sucessor s(n)N;
•(P3) O número natural 1 não é sucessor de qualquer número natural, isto é, para todo nN, tem-se que s(n) 1;
•(P4) Se m,nN e