Matematica UFBAFASE2 2006doc

Vestibular UFBA – 2006 –2a FASE.
Resolução da prova de Matemática
Por Profa. Maria Antônia Conceição Gouveia.

Questão 01 (Valor: 15 pontos)
Considere a equação, na variável x, ax2 + bx + c = 0 e a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, e c números reais.
Sabendo que uma raiz da equação ax2 + bx + c = 0 é o número complexo de módulo

e argumento

π
4

2

e que a imagem da função f(x) = ax2 + bx + c é o intervalo ] – ∞, –1]

calcule f(2).

RESOLUÇÃO: z= π π 
2  cos + isen  =
4
4


 2
2 
2 
+
i  = 1 + i ⇒ f(x) = a[x – (1 – i)][x- (1 + i)] ⇒
2
2



f(x) = a( x2 – 2 x +2) = ax2 – 2a x +2a.
Sendo a imagem da função f(x) = ax2 – 2a x +2a o intervalo ] – ∞, –1] então
− ∆ − (4a2 − 8a2 )
=
= −1 ⇒ a = −1 ⇒ f(x) = –x2 + 2x – 2 ⇒ f(2) = –4 + 4 – 2 = – 2.
4a
4a

Questão 02 (Valor: 15 pontos) y 5

O gráfico representa a função f: R→]1,+∞[; f(x) = a+b.2kx, sendo a, b, e k constantes reais. A partir dessas informações, calcule f–1(x).

3

1
-1

0 x RESOLUÇÃO:
Analisando o gráfico da função f(x) = a+b.2kx, concluímos que é uma translação do gráfico da função h(x) = b.2kx, segundo o vetor u = 1 ⇒ a = 1.
Logo f(x) = 1+b.2kx.

Ainda pelo gráfico vemos que f(0) =
3
e
1
b
3
b
2
b
2
+
=
=
=



b = 2
b = 2
⇒
⇒  −k
⇒
⇒

−k
−k
− k + 1 = 2
k = −1
1 + b.2 = 5
1 + b.2 = 5
2.2 = 4

f(–1)

=

5

⇒

f(x) = 1+2.2–x= 1+2–x+1.
Se (x,y) é um par ordenado que satisfaz a f(x), então o par (y,x) satisfaz a f–1(x) ⇒ x = 1+2–y+1 ⇒ 2–y+1=x – 1 ⇒ –y + 1 = log2 (x − 1) ⇒ y= – log2 (x − 1) +1⇒ f–1(x) = – log2 (x − 1) +1.

Questão 03 (Valor: 15 pontos)
Considerando, no plano cartesiano, os pontos A(x, 0), B(1, 0) e C(4, 0), determine todos os valores de x para os quais a soma da distância de A a B e da distância de A a C seja menor ou igual a 7.

RESOLUÇÃO:
Distância de A a B: d =

(x − 1)2

Distância de A a C: d1 =
Pelos dados do problema:
Por definição de módulo:

= (x − 1) .

(x − 4)2

= (x − 4 ) .

(x − 1) + (x − 4)

≤7

(x − 1) = 

x − 1, se x ≥ 1
x − 4, se x