Matematica: Elipse

Estudo das cônicas
Elipse:

É o conjunto dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante.
Equações da elipse
a. Centrada na origem e com o eixo maior na horizontal
Seja P(x,y) e 2a e 2b os eixos maiores e menores respectivamente,
Então
X2 / a2 + y2/b2 = 1
b. Centrada na origem e com o eixo maior na vertical
Seja P(x,y) e 2a e 2b os eixos maiores e menores respectivamente,
Então,
X2 / b2 + y2 / a2 = 1
Exemplo:
Obter a equação de uma elipse de vértices V1(0, -5) e V2(0, 5) e de focos F1(0, -2) e F2(0,2).
Trata-se do caso b (foco no eixo dos y)
Então,
X2 / b2 + y2 / a2 = 1
Sabemos que c = 2 e a = 5, podemos calcular b, ou seja:
A2 = b2 + c2,  25 = b2 + 4  b2 = 21
Substituindo os valores na equação temos:
X2 / 21 + y2 / 25 = 1  25x2 + 21y2 = 525
Hipérbole

Sejam F1 e F2 dois pontos fixos do plano. Chamamos de hipérbole ao conjunto dos pontos P do plano em que a diferença entre as distâncias de P a F1 e de P a F2 é constante.
Equações da hipérbole
a. Com foco no eixo das abcissas (x)
Seja P(x,y) e a e b os semi-eixos reais (transverso) e imaginário (conjugado).
Então,
x2 / a2 - y2 / b2 = 1
b. Com foco no eixo das ordenadas (y)
Seja P(x,y) e a e b os semi-eixos transverso e conjugado.
Então,
x2 / b2 - y2 / a2 = 1
Exemplo
Obter a equação da hipérbole cujos focos são F1(-6,0) e F2(6,0) e cujos vértices são V1(-3,0) e V2(3,0).
Trata-se do caso a (foco no eixo dos x)
Então,
x2 / a2 - y2 / b2 = 1
Sabemos que a = 3 e c = 6, como c2 = a2 + b2  36 = 9 + b2  b2 = 27
Substituindo na fórmula, temos que: x2 / 9 - y2 / 27 = 1 ou ainda  3x2 – y2 = 27