Logarítmos

Os logaritmos foram criados por John Napier (1550-1617) e desenvolvidos por Henry Briggs (1531-1630); foram introduzidos no intuito de facilitar cálculos mais complexos. Através de suas definições podemos transformar multiplicações em adições, divisões em subtrações, potenciações em multiplicações e radiciações em divisões.
Dados dois números reais positivos a e b, onde a ≠ 1 e a > 1 e b > 0, existe somente um número real x, tal que ax=b ou logab=x.
Temos:
a = base do logaritmo b = logaritmando x = logaritmo
O logaritmo de b na base a é o expoente que devemos atribuir ao número a para obter b.

Exemplos: log24 = 2, pois 2² = 4

log327 = 3, pois 3³ = 27

log12144 = 2, pois 12² = 144

Definições:

1ª propriedade – Logaritmo de 1 em qualquer base a é 0. loga1 = 0 loga1 = x ax = 1 (a0 = 1) x = 0

2º propriedade – O logaritmo da base, qualquer que seja a base, será 1. logaa = 1 logaa = x ax = a x = 1

3º propriedade - O logaritmo de uma potência de base a é igual ao expoente m. logaam = m logaam = x ax = am x = m

4º propriedade - Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos também são iguais. logab = logac logab = x → ax = b logac = x → ax = c b = c

5º propriedade - A pontência de base a e expoente logab é igual a b. alogab= b alogab= x logab= ax logax = logab x = b

Exemplos resolvidos:

Podemos aplicar as definições de logaritmos em situações que envolvam Matemática Financeira, Química (cálculo de acidez), Física (ondulatória), Medicina, Biologia e etc.

Existem quatro tipos básicos de equações logarítmicas. Iremos resolver um exemplo de cada tipo.

Tipo 1. Equação que envolve a igualdade entre dois logaritmos de mesma base.

A solução é dada fazendo x = y > 0
Exemplo: Resolva a equação

Solução: temos que
2x + 4 = 3x + 1
2x – 3x = 1 – 4
– x = – 3 x = 3
Portanto, S = { 3 }

Tipo 2. Equação que envolve a igualdade entre um logaritmo e um número.

A solução é