Lista de exercicios

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL
DISCIPLINA: VARIÁVEIS COMPLEXAS PROFa. MARIA ZITA C BRAGA ALUNOS: JORGE RICARDO, LUCIANO SANTOS DE ASSIS
ATIVIDADE ONLINE 1
1. Determine os números complexos z=a+bi que têm o quadrado igual ao seu conjugado.

z2=z→a+bi2=a-bi→a2+2abi+b2i2= a-bi→a2+2abi-b2=a-bi→a2-b2+2abi=a-bi→ Desta forma temos o seguinte:

a2-b2=a2abi=-bi→2a=-1→a=-12-122-b2=-12→-b2=-12-14→-b2=-34→b=±34→b=±32
Veja as seguintes observações:
2ab=-b, b=0
Fazendo a substituição em a2-b2=a, temos a2=a, a=1 ou a=0
Após as substituições teremos: z=-12+32i z=12-32i z=0 u z=1

2. Determine o lugar geométrico das imagens dos complexos z tais que: a) z+1zé real. Verificando quez=x+yi, temos:

z+1z=x+yi+1x+yi→x+yi+x-yix+yix-yi=x+yi+x-yix2-y2i2=x+yi+x-yix2+y2
=x+yix2+y2+x-yix2+y2=x3+xy2+x2yi+y3i+x-yix2+y2=
=x3+xy2+xx2+y2+x2y+y3-yix2+y2 Veja a seguinte observação: x2y+y3-yx2+y2=0→x2y+y3-y=0→yx2+y2-1=0 y=0 x2+y2-1=0

b) 1+z=21-z
Se x∈C1+z=21-z Seja z=x+iy. Então, z∈S se, e somente se
1+x+iy=21-x+iy
1+x+iy=21-x-iy x+12+y2=2-x+12-y2 x+12+y22=2-x+12-y22 x+12+y2=4x+12+y2 x2+2x+1+y2=4x2-8x+4+4y2
-3x2-3y2+10x=3
-3x2-3y2+10x-3=0
Para x=0, vemos o seguinte:
-3y2-3=0→-3y2=3→y2=-33→y2=-1→y=±-1→y=±i
Para y=0, vemos o seguinte:
-3x2+10x-3=0→∆=102-4∙-3-3→∆=64
x'=-10+642∙-3 x'=-10+8-6→x'=-2-6=13 x''=-10-642∙-3 x''=-10-8-6→x''=-18-6=3 Dessa forma:

z1=13+i z2=13-i z3=3+i z4=3-i

3. Para n inteiro, determine (justificando) quais os valores da expressão in+i-n

Considerando n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9… então:

Para n=0 in+i-n=in+1in=i0+1i0=1+11=2 Para n=1 in+i-n=in+1in=i1+1i1=i+1i=i2+1i=-1+1i=oi=0 Para n=2 in+i-n=in+1in=i2+1i2=-1+1-1=-1-1=-2 Para n=3 in+i-n=in+1in=i3+1i3=i2∙i+1i2∙i=-i+1-i=-1+1-i=o-i=0 Verificamos na resolução acima que para n inteiro, os valores da expressão in+i-n seguem uma seqüência lógica 2,0,-2,0.

4. Calcule as