Lista 2 Regras De Deriva O Unificado 2013 1

Universidade Federal de Sergipe - UFS
Departamento de Matem´atica - DMA
C´alculo I - Lista 2 - Regras de Deriva¸c˜ao
Equipe de Unifica¸ca˜o - 2013.1
1. Quantas retas tangentes `a curva y = essas retas tangentes tocam a curva?

x passam pelo ponto (1, 2)? Em quais pontos x+1 2. Se c > 21 , quantas retas pelo ponto (0, c) s˜ao normais `a par´abola y = x2 ? E se c < 12 ?
3. Para quais valores de a e b a fun¸c˜ao ax, se x < 2 ax2 − bx + 3, se x ≥ 2

f (x) =

´e deriv´avel para qualquer valor de x?
4. Encontre os pontos sobre a curva y =

cos x onde a tangente ´e horizontal.
2 + sen x

5. Um objeto de massa m ´e arrastado ao longo de um plano horizontal por uma for¸ca agindo ao longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um ˆangulo θ com o plano, ent˜ao a intensidade da for¸ca ´e
F =

µmg µsenθ + cos θ

onde µ ´e uma constante chamada coeficiente de atrito.
(a) Encontre a taxa de varia¸ca˜o de F em rela¸ca˜o a θ.
(b) Quando esta taxa de varia¸ca˜o ´e igual a 0?
6. Se y = f (u) e u = g(x), onde f e g s˜ao fun¸c˜oes duas vezes deriv´aveis, mostre que d2 y d2 y
=
dx2 du2 du dx 2

+

dy d2 u
.
du dx2

7. Mostre, fazendo a diferencia¸ca˜o impl´ıcita, que a tangente `a elipse x2 y 2
+ 2 =1 a2 b no ponto (x0 , y0 ) ´e x0 x y0 y
+ 2 = 1. a2 b
8. √
Mostre que a soma dos interceptos x e y de qualquer reta tangente a` curva c ´e igual a c.
1

√
√
x+ y =

9. Mostre, usando a deriva¸ca˜o impl´ıcita, que qualquer reta tangente, em um ponto P, a um c´ırculo com centro O ´e perpendicular ao raio OP.
10. Encontre uma f´ormula para f (n) se:
(a) f (x) = x2 ex
(b) f (x) = ln (x − 1).
11. Dois lados de um triˆangulo s˜ao 4m e 5m, e o aˆngulo entre eles est´a crescendo a uma taxa de 0, 06rad/s. Encontre a taxa segundo a qual a a´rea est´a crescendo quando o aˆngulo entre os lados do comprimento fixo ´e π/3.
12. Se dois resistores com resistˆencia R1 e R2 est˜ao conectados em paralelo, ent˜ao a resistˆencia total R, medida em ohms Ω, ´e dada por
1
1
1
=
+
R
R1 R2
Se R1 e R2 est˜ao