Lgebra Linear Depend Ncia E Independ Ncia Linear

Prof. Tércio Brum

Professor Tércio Brum

Seja V um espaço vetorial onde: e Independência
Linear
Dependência
A = {v1 , v2 , v3 , L , vn } ⊂ V

Vamos considerar a equação:
Esta equação admite pelo menos um solução: a1 = 0, a2 = 0, a3 = 0, L an = 0,

Dependência e Independência Linear – Cont.
O conjunto “A”, diz-se linearmente independente
(LI) ou os vetores:
A = {v1 , v2 , v3 , L , vn } ⊂ V

São LI, caso admita apenas a solução trivial
Se existirem soluções não triviais, diz-se que o conjunto “A” é linearmente dependente (LD)

Exemplos
Sejam os vetores:

v1 = (2, 2, 3, 4 )

v2 = (0, 5, − 3, 1)

v3 = (0, 0, 4, − 2 )

a (2, 2, 3, 4 ) + b (0, 5, − 3, 1) + c (0, 0, 4, − 2 ) = (0, 0, 0, 0 )

(2a,

2a, 3a, 4a ) + (0, 5b, − 3b, b ) + (0, 0, 4c, − 2c ) = (0, 0, 0, 0 )

(2a,

2a + 5b, 3a − 3b + 4c, 4a + b − 2c ) = (0, 0, 0, 0 )

(2a,

2a + 5b, 3a − 3b + 4c, 4a + b − 2c ) = (0, 0, 0, 0 )

2a
=0

 2a + 5b = 0


3a − 3b + 4c = 0
 4a + b − 2c = 0

a =0 b =0 c =0

Professor Tércio Brum

S e ja V u m e s p a ç o v e to r ia l o n d e :

A = {v1 , v 2 , v3 , L, v n } ⊂ V
Linearmente Independente:

O espaço vetorial:
Linearmente Dependente:

Professor Tércio Brum

Dizemos que o conjunto: {v 1 , v 2 , L

vn}

ou os vetores

v1 , v 2 ,L v n

Caso esta equação admita apenas a solução nula: a1 = 0, a2 = 0, a3 = 0, La n = 0,

Será Linearmente Independente (LI)
Caso contrário, será Linearmente Dependente (LD) a j

≠ 0
Professor Tércio Brum

•

Vetores LI – Não são Coplanares

Linearmente Dependente

Professor Tércio Brum

Exemplos
Exemplo 1: Verifique se os vetores são LI ou LD r u = (1 , − 1 )

r v = (3 , − 3 )

a (1 , − 1 ) + b (3 , − 3 ) ⇒

(a

r r au + bv = 0

+ 3 b , − a − 3 b ) = (0 , 0 )

 a + 3b = 0
⇒ a = −3b

− a − 3b = 0 b ≠ 0 ⇒ LD
Professor Tércio Brum

Propriedades de Dependência Linear
Seja v um espaço vetorial
A = { v } ⊂ V e v ≠ 0 , então

A é LI

v ≠ 0 av = 0 → a = 0

•

Se um conjunto A contido em “V”, contém um vetor nulo, então
A é LD.

•

Se uma