lei dos cossenos

Lei dos Cossenos
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a diferença entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por estes lados.

a² = b² + c² - 2bc cos(A) b² = a² + c² - 2ac cos(B) c² = a² + b² - 2ab cos(C)

Demonstração: Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.

Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo, com ângulo reto no vértice A. A relação

a² = b² + c² - 2bc cos(A) recai no teorema de Pitágoras.

a² = b² + c² uma vez que cos(A)=cos(pi/2)=0.

Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um triângulo acutângulo com ângulo agudo correspondente ao vértice A, como mostra a figura.

Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos:

a² = h²+(c-x)² = h²+(c²-2cx+x²) =
=(h²+x²)+c²-2cx (Eq.1)
No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também cos(A)=x/b, ou seja, x = b cos(A)

Substituindo estes resultados na equação (Eq. 1), obtemos:

a²=b² + c² - 2bc cosA

Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo ABC com o ângulo obtuso correspondente ao vértice A, como mostra a figura.

Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos que:

a² = h²+(c+x)² = h²+(c²+2cx+x²) =
=(h²+x²)+c²+2cx (Eq.2)
No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também:

cos(D)=x/b=cos(pi-A)=-cos(A), então, x = -b cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq.2), obtemos:

a² = b² + c² - 2bc cos(A)

As expressões da lei dos cossenos podem ser escritas na forma

cos(A)= b²+c²-a²
2bc ,cos(B)= a²+c²-b²
2ac ,cos(C)= a²+b²-c²
2ab