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PRIMEIRA LISTA DE EXERC´
ICIOS - GEOMETRIA ANAL´
ITICA
Prof. Rafael F. Barostichi
1. Considere as matrizes
A=

2 0
,B
6 7

−6
D= 1
−6

0 4
,C
2 −8


4 0
1 4 ,E = 
0 6

=

−6 9 −7
7 −3 −2

6 9 −9
−1 0 −4  .
−6 0 −1

=

,

Calcule, se poss´ ıvel: (a) AB − BA;
(b) 2C − D;
(c) (2Dt − 3E t )t ;
(d) D2 − DE.
2. Considere as seguintes matrizes



2 −1
−3 2 1
A=
,B =  2 0 ,
1 2 −1
0 3




−2 1 −1 d1 0 0
C =  0 1 1  , D =  0 d2 0  ,
−1 0 1
0 0 d3
 
 
 
1
0
0
 0  , E2 =  1  , E3 =  0  .
E1 =
0
0
1
Verifique que:
(a) AB ´ diferente de BA; e (b) AEj ´ a j-´sima coluna de A, para j = 1, 2, 3 e Eit B ´ a i-´sima linha de B, para e e e e i = 1, 2, 3.


 


−2
1
−1
(c) CD = (d1 C1 d2 C2 d3 C3 ), sendo C1 =  0 , C1 =  1  e C1 =  1 , s˜o a −1
0
1 as colunas de C.

1



 d1 C 1 a (d) DC =  d2 C2 , sendo C1 = (−2 1 − 1), C2 = (0 1 1) e C3 = (−1 0 1) s˜o as d3 C 3 linhas de C.
3. Encontre um valor de x tal que AB t = 0, sendo
A = (x 4 − 2) e B = (2 − 3 5).

4. Mostre que as matrizes

1
1 y y 1

, sendo y um n´mero real n˜o nulo, verificam a u a

equa¸ao X 2 = 2X. c˜ 5. Explique por que, em geral, (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 e (A + B)(A − B) = A2 − B 2 .
6. Considere as matrizes







2 −3 −5
−1 3
5
2 −2 −4
5  , B =  1 −3 −5  , C =  −1 3
4 .
A =  −1 4
1 −3 −4
−1 3
5
1 −2 −3
(a) Mostre que AB = BA = 0, AC = A e CA = C.
(b) Utilize o item (a) acima para mostrar que ACB = CBA, A2 − B 2 = (A − B)(A + B) e (A ± B)2 = A2 + B 2 .

7. Encontre uma matriz B tal que B 2 = A, sendo A =

3 −2
−4 3

.

8. Encontre todas as matrizes de ordem 2 × 2 que s˜o solu¸˜es da equa¸˜o matricial a co ca X 2 = I2 , sendo I2 a matriz identidade de ordem 2 × 2.
9. Encontre todas as matrizes quadradas A, de ordem 2 × 2 tais que A2 = A.
10. Mostre que, se A e B s˜o duas matrizes que comutam com a matriz