Jjogador de futebol

Jos Cloves Saraiva - UFMA ( Nvel Avanado As abelhas constrem colmias para reservar o mel e para o desenvolvimento e reproduo da sua prpria espcie. Cada alvolo tem a forma de um prisma reto hexagonal fechado numa das extremidades por uma cobertura de trs losngos de forma que o volume mximo enquanto a rea lateral total (incluindo a cobertura) fixada. Com isso as abelhas fazem o menor gasto de cera na construo das paredes peliculares que o constituem. Nesta construo econmica cada parede serve para dois alvolos contguos, o que motiva a escolha de prismas retos com seo transversal poligonal regular, como nas figuras abaixo EMBED Word.Picture.8 fcil ver que as formas prismticas com seo transversal um polgono regular de n lados que podem ser usadas para cobrir o espa determinadas pela condio de que EMBED Equation.3 um nmero inteiro positivo, onde In o ngulo interno de um polgono regular. Podemos escrever EMBED Equation.3 que um inteiro positivo se e s se n 2 um divisor de 4, logo devemos ter n 3, n 4 ou n 6 como mostra a figura acima. Por um clculo volumtrico simples das trs posibilidades acima observando o mesmo volume, ou escolhendo a forma mais convexa, das trs acima indicadas a escolha das abelhas pela forma hexagonal de fato a mais econmica (dentre um tringulo, um quadrado e um hexgono regulares de mesmo permetro o hexgono tem a maior rea.) EMBED Word.Picture.8 Eis como as abelhas colocam os seus alvolos hexagonais. Esses alvolos, para maior economia de material , so fechados por trs losangos iguais. O valor constante do melhor ngulo agudo de um losango de fechamento causou srio debate entre telogos, naturalistas e matemticos. EMBED Word.Picture.8 O problema que as abelhas resolvem pode ser abordado, sem grande dificuldade, com os recursos da Matemtica elementar. Como mostra a figura acima, as abelhas fecham uma das bases do prisma com trs losangos congruentes cujo ngulo agudo do losango, (, mede aproximadamente 70(32, o que d