ITA Matem Tica 2002

RESOLUÇÃO ITA 2002 – MATEMÁTICA

MATEMÁTICA
NOTAÇÕES
C é o conjunto dos números complexos.
R é o conjunto dos números reais.
N = {1, 2, 3, ...}. i denota a unidade imaginária, ou seja, i 2 = – 1. z é o conjugado do número complexo z.
Se X é o conjunto, P(X) denota o conjunto de todos os subconjuntos de X.
A \ B = {x ∈ A; x ∉ B}.
[a , b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}.
[a, ∞) = {x ∈ R; a ≤ x}.
(– ∞, a] = {x ∈ R; x ≤ a}.
P = (x, y) significa ponto P de coordenadas (x, y).
AB denota o segmento que une os pontos A e B.
In x denota o logaritmo natural de x.
At denota a matriz transposta da matriz A.
1. Considere as seguintes afirmações sobre números reais positivos:
I. Se x > 4 e y < 2, então x2 – 2y > 12.
II. Se x > 4 ou y < 2, então x2 – 2y > 12.
III. Se x2 < 1 e y2 > 2, então x2 – 2y < 0.
Então, destas é (são) verdadeira(s)
A. ( ) apenas I.
B. ( ) apenas I e II.
D. ( ) apenas I e III.
E. ( ) todas.

C. ( ) apenas II e III.

RESOLUÇÃO:
Com x, y ∈ R∗+ tem-se: x > 4 e y < 2 ⇒ x2 > 16 e –2y > –4 ⇒ x2 – 2y > 12
⇒ I é Verdadeira e II é Falsa x2 < 1 e y2 > 2 ⇒ x2 < 1 e y > 2 ⇒ x2 < 1 e −2y < −2 2 ⇒ x2 − 2y <1 −2 2 < 0
⇒ III é Verdadeira
Alternativa: D
Observação: y2 > 2 ⇒ y > 2 ou y <- 2 , mas como os números dados são reais e positivos, y < - 2 não convém.
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RESOLUÇÃO ITA 2002 – MATEMÁTICA

2. Sejam a, b, c reais não-nulos e distintos, c > 0. Sendo par a função dada por ax + b f(x) =
, − c < x < c, x+c então f(x), para – c < x < c, é constante e igual a
A. ( ) a + b.
B. ( ) a + c.
C. ( ) c.
D. ( ) b.
E. ( ) a.
RESOLUÇÃO:
A função f é par em ]– c, c[ ⇒ f(–x) = f(x), ∀x ∈ ]– c, c[
Assim para qualquer x ∈ ] – c, c [, tem-se: a( − x) + b ax + b
=
⇒ (x + c).( −ax + b) = ( −x + c).(ax + b) ⇒
( − x) + c x+c ⇒ −ax2 + bx − acx + bc = −ax 2 − bx + acx + bc ⇒ 2bx = 2acx, ∀x ∈ ]– c, c[
Portanto, b = ac.
Daí segue: ax + ac a(x + c) f(x) =
=
⇒ f(x) = a, ∀x ∈ ]- c, c[ x+c (x + c)
Alternativa: E

3. Os valores de x ∈ R, para os quais a função real dada por f(x) = 5 − 2x − 1 − 6 está definida,