imo lista 2015 01

Primeira Lista de Prepara¸c˜ ao para a LVI IMO e XXV Olimp´ıada Iberoamericana de Matem´ atica N´ıvel III

Prazo: 27/02/2015, 23:59 de Bras´ılia
Os problemas 1, 6, 7, 9, 13 tamb´em est˜ ao na lista 1 da Cone Sul. Se vocˆe faz as duas listas, vocˆe n˜ao precisa enviar resolu¸c˜oes desses problemas duas vezes. Por outro lado, se vocˆe resolver algum dos problemas somente depois do prazo da Cone Sul e antes do prazo da IMO, vocˆe pode envi´a-los.
´
Algebra
PROBLEMA 1

A sequˆencia {xn }n ´e definida por x1 =

1
2

A=

e xk+1 = x2k + xk . Seja:
1
1
1
+
+ ··· + x1 + 1 x2 + 1 x100 + 1

Determine ⌊A⌋, ou seja, o maior inteiro que ´e menor ou igual a A.
PROBLEMA 2

Encontre o valor m´ınimo e o valor m´aximo de
S = (1 − x1 )(1 − y1 ) + (1 − x2 )(1 − y2 ) para reais x1 , x2 , y1 , y2 com x21 + x22 = y12 + y22 = 2015.
PROBLEMA 3

Encontre todos os pares de polinˆ omios f e g, com coeficientes inteiros, tais que f (g(x)) = x2015 + 2x + 1 para todo x real.
PROBLEMA 4

Encontre todas as fun¸c˜oes f dos reais positivos para os reais positivos tais que x2 (f (x) + f (y)) = (x + y)f (f (x)y) para todos x, y > 0.
Combinat´
oria
PROBLEMA 5

Esmeralda escolhe 7 v´ertices de um pol´ıgono regular de 27 lados. Prove que Jade pode escolher 4 dos 7 v´ertices escolhidos por Esmeralda que s˜ ao v´ertices de um trap´ezio.
PROBLEMA 6

Pesos de 1g, 2g, . . . , 200g s˜ ao colocados nos dois pratos de uma balan¸ca de dois pratos de modo que cada prato tenha 100 pesos e que a balan¸ca fique em equil´ıbrio. Prove que ´e poss´ıvel trocar 50 pesos de um dos pratos por
50 pesos do outro prato de modo que a balan¸ca mantenha o equil´ıbrio.
PROBLEMA 7

Uma torre se move em um tabuleiro infinito de xadrez. O seu primeiro movimento ´e horizontal, seu segundo movimento ´e veritcal e ela segue alternando os movimentos. O comprimento do primeiro movimento ´e 1, ou seja a torre vai para uma casa vizinha, o comprimento do segundo movimento ´e 2 e assim por diante.
´ poss´ıvel que a torre volte para a casa onde