IEEE - Passive Source Localization Employing Intersecting Spherical Surfaces from Time-of-Arrival Difference

O algoritmo inicia com a seleção dos registros de ruídos detectados no ensaio, processando-os de quatro em quatro, sempre de sensores distintos. Como a localização tridimensional dos sensores é conhecida, é possível definir a diferença da distância da fonte do ruído detectado para um sensore dessa mesma fonte para um sensor(no texto, apresentada como) em termos da (desconhecida) distância absoluta da fonte, para cada um dos sensores, da seguinte forma:

(7)
Onde é a velocidade do som no meio de propagação (1390 m/s admitidos para o óleo isolante) e a diferença do tempo de chegada do sinal acústico entre os sensores.
Partindo de tal definição e relembrando a analogia demonstrada na “fig. 7”, considere que a distancia entre a fonte do ruído e determinado sensor é obtida através da formula para cálculo do raio de uma esfera, como se segue: (8)
Onde é a posição tridimensional do sensor um (1) (similarmente para os sensores 2 a 4), é a posição tridimensional da fonte do ruído, e é a distância do sensor um (1) para essa fonte (novamente, similarmente para os demais sensores). Expandindo (8) e substituindo os valores para , , obtidos em (7) nos leva a:
No conjunto acima, é empregada uma solução direta a para as equações (7), ou seja, , sucessivamente para e .
Resolvendo equação em (10) para a distância desde a origem, coordenada (0, 0, 0), até a fonte do ruído ao quadrado, temos:

(11)
Substituindo a equação (11) nas três equações em (9) induz a:

Sem perda de generalidade, podemos tomar o sensor do último sinal detectado, do conjunto de quarto sinais que estão sendo processados, para ser a origem. Isso torna , portanto. Realizando a substituição desses valores em (12), temos:

Lembrando que agora com base em (11), simbolicamente (13) pode ser escrita como: (14)
Onde:

Em (14) valores desconhecidos aparecem em ambos os lados da equação, a coordenada