geoografia

Sucessões
Definição: Sucessão de números reais é qualquer aplicação do conjunto dos naturais, N, no conjunto dos reais, R.
Notações:

Ÿu n nN ,

Ÿu n n

ou

Ÿu n .

u n v termo geral da sucessão

Exemplos importantes:
1. Progressão aritmética de razão r e primeiro termo a :
- os termos são a, a  r, a  2r, T
- o termo geral é

u n  a  Ÿn " 1 r

2. Progressão geométrica de razão r e primeiro termo a :
- os termos são termos são a, ar, ar 2 , T
- o termo geral é

Ana Matos - AMII 0607

u n  ar n"1

(versão de 20 de Março)

Suc. 1

Limite de uma Sucessão
Definição: O número real a é limite da sucessão Ÿu n se

para qualquer -  0 existe p N tal que, para qualquer n  p,

|u n " a|  -,

isto é
 -0  pN  nN : n  p ´ |u n " a|  - .
O que significa que

S

para qualquer -  0, existe uma ordem p a partir da qual todos os termos da sucessão pertencem ao intervalo a " -, a  - .

Diz-se também que Ÿu n converge para a ou que Ÿu n tende para a.
Notações:

S

lim u n  a, lim u n  a ou u n v a

nv.

Ÿu n diz-se convergente se existe um número real a tal que u n v a; diz-se divergente caso contrário.

Proposição: O limite de uma sucessão quando existe é único.

S

Uma sucessão diz-se um infinitésimo se converge para zero.

Nota: u n converge para a sse u n " a é um infinitésimo.

Ana Matos - AMII 0607

(versão de 20 de Março)

Suc. 2

Sucessões Limitadas
Recorde-se que, sendo A subconjunto de R:

S
S
S
S
S
S

um real b é um majorante de A se qualquer elemento de A for menor ou igual a b; um real a é um minorante de A se qualquer elemento de A for maior ou igual a a;
A é majorado (ou limitado superiormente) se tiver majorantes; A é minorado (ou limitado inferiormente) se tiver minorantes; A é limitado se for majorado e minorado; se A não é limitado diz-se ilimitado.

Definição: Uma sucessão Ÿu n diz-se limitada se o conjunto dos seus termos é