Geomoetria analitica

CAPÍTULO I – EQUAÇÕES DA RETA

1.1

Equação vetorial
Um dos axiomas da geometria euclidiana diz que dois pontos distintos determinam uma reta. Seja r a reta determinada pelos pontos P 1 e P2. P1 P2 r
→ → Um ponto P pertence à reta r se, e somente se, os vetores P1P e P1P2 → são colineares. Como P1 e P2 são distintos, o vetor P1P2 é não nulo, → → então existe um escalar λ tal que P1P = λ P1P2 . Assim, P pertence a r se, → e somente se, P = P1 + λ P1P2 ; λ ∈ IR . Podemos então concluir que todo

ponto da reta r satisfaz à equação: X = P1 + λ P1 P2 ; λ ∈ IR , que é chamada de equação vetorial da reta r. Observemos que o fundamental na determinação da equação vetorial de uma reta, é conhecermos um ponto desta reta e um vetor ( não nulo ) na sua direção. Um vetor na direção da reta r é chamado vetor direção da r reta r, e indicado por v r .
Po r r : X = Po + hv r ; h ∈ IR
→

r

r vr

Assim, cada escalar h determina um único ponto P pertencente a r e, reciprocamente, para cada ponto de r, existe um único valor r real h tal que P = Po + h v r .
1

1.2

Equações paramétricas e simétricas
Fixado um sistema de coordenadas, sejam Po ( x o , y o , z o ) e v r = (a , b, c ) . r A equação vetorial da reta r, determinada por Po e v r é: r : (x, y, z) = (x o , y o , z o ) + h (a, b, c); h ∈ IR , r

x = xo + h a  que equivale ao sistema r :  y = yo + h b ; h ∈ IR z = z + h c  o

•

As equações acima são chamadas de equações paramétricas da reta r. Se abc ≠ 0 , eliminando o parâmetro h do sistema •, obtemos r: x − xo y − yo z − zo = = a b c

‚

Estas equações são denominadas equações simétricas da reta r. As equações em ‚, poderiam ser obtidas observando o paralelismo que deve existir entre os vetores: → r Po P = ( x − x o , y − y o , z − zo ) e vr = ( a, b, c), abc ≠ 0. Exemplos 1. Determine uma equação da reta r que: a) passa pelos pontos P1 (3,− 1,1) e P2 (2,1,2) ; b) passa pelo ponto P(4,1,0) e contém representantes do vetor r u = ( 2,6,−2)