Geometria anlitica

GUIDG.COM – PG. 1

14/4/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos – Superfícies Quádricas
* Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.

1 – Revisão de conteúdo. 2 – Veja alguns exemplos gráficos de superfícies geradas a partir do computador. Partindo de exercícios mais simples, e seguindo até as formas mais complicadas.

Uma brevíssima revisão das equações e dos gráficos de superfícies: Elipsóide: Centro C(0, 0, 0): 2 2 2 xff yff zff ff ff ff ff ff f f f + 2 + 2f= 1 a2 b c O sinais da equação são positivos. a, b e c são os eixos das elipses. Centro C(h, k, l): b c2 ` a2 a2 yffffff `ffffff @ffff ffffff kfff zfffff xffffff ffff @h @l fffffff ffffff ffffff ffffff fff f ffffff

a2

+

b

2

+

c2

=1

Hiperbolóide de uma folha:

Centro C(0, 0, 0). Um dos sinais é sempre negativo.
2 2 2 xff yff zff ff ff f f f (1) + + - : ff+ ff ff 1 @ 2f= a2 b2 c 2 2 2 xff yff zff ff ff f f f f (2) + - + : ff ff+ ff 1 @ 2 = 2 2 a c b 2 2 2 xff yff zff ff ff f f f f (3) - + + : @ ff+ ff+ ff 1 = a2 b2 c2

Hiperbolóide de duas folhas:

Centro C(0, 0, 0). Dois sinais são sempre negativos.
2 2 2 xff yff zff ff ff f f f (1) + - - : ff ff ff 1 @ 2 @ 2f= a2 b c 2 2 2 xff yff zff ff ff f f f (2) - + - : @ ff+ ff ff 1 @ 2f= a2 b2 c 2 2 2 xff yff zff ff ff f f f f (3) - - + : @ ff ff+ ff 1 @ 2 = 2 2 a c b

GUIDG.COM – PG. 2 Parabolóide Elíptico: Os sinais são iguais. ax, by, cz (1)
2 2 xff yff ff ff ff ff f + ff cz = a2 b2
2 2 xff zff ff ff ff ff f f + 2 = by a2 c 2 2 yff zff ff ff ff ff ff f + 2 = ax 2 c b

(2)

(3)

Parabolóide Hiperbólico (Sela): Os sinais são contrários. (1)
2 2 yff xff ff ff ff ff f f @ 2 = cz 2 a b

2 2 zff xff ff ff ff ff f f (2) 2 @ 2 = by c a 2 2 zff yff ff ff f f ff f @ 2 = ax c2 b

(3)

Superfície Cônica:

Equações semelhantes às do Elipsóide porem igualadas à zero. O termo de sinal negativo indica o eixo dos cones. 2 2 2 xff yff zff ff ff f f f (1) eixo z (fig. ao lado): ff+ ff ff 0 @ 2f= a2 b2