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MODULO 1 - AULA 6

Aula 6 – Pontos Not´ aveis de um Triˆ angulo Defini¸c˜ao: Lugar Geom´etrico ´e um conjunto de pontos que gozam de uma mesma propriedade.
Uma linha ou figura ´e um lugar geom´etrico se:
a) todos os seus pontos tˆem a propriedade;
b) s´o os seus pontos tˆem a propriedade.
Exemplos:
Circunferˆ encia 1) Na figura, ´e a linha que representa uma circunferˆencia de centro O e raio
R.

Note que um ponto P dessa linha dista R do ponto O. A propriedade caracter´ıstica de cada ponto dessa linha em rela¸c˜ao ao ponto O ´e distar R do ponto
O. N˜ao existe nenhum ponto n˜ao pertencente a` circunferˆencia que diste R do ponto O porque, se Q for interior a` circunferˆencia, ent˜ao OQ < R e, se S for exterior a` circunferˆencia, ent˜ao OS > R.
Assim podemos afirmar que s´o os pontos dessa circunferˆencia distam R de
O. Da´ı, o lugar geom´etrico dos pontos que distam R do ponto O ´e a circunferˆencia de centro O e raio R.
Mediatriz como lugar geom´ etrico 2) J´a estudamos que mediatriz de um segmento ´e a reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto m´edio.
Teorema 1: A mediatriz de um segmento ´e o lugar geom´etrico dos pontos de um plano que equidistam dos extremos desse segmento.
Prova:
1 parte: Vamos mostrar que todo ponto da mediatriz equidista dos extremos do segmento.

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CEDERJ

Considere m a reta perpendicular ao segmento AB e que passa pelo seu ponto m´edio M, e Q um ponto qualquer dessa mediatriz m. Vamos provar que QA = QB

Sejam os triˆangulos AMQ e BMQ, temos:


 MA = MB (constru¸c˜ao)
ˆ = BMQ
ˆ (ˆangulo reto)
AMQ


MQ = MQ (lado comum)

=⇒ ∆AMQ ≡ ∆BMQ ⇒
LAL

Da´ı, QA = QB.
Logo, Q ´e equidistante dos extremos A e B.
2 parte: S´o os pontos da mediatriz equidistam dos extremos desse segmento.
Seja E um ponto qualquer do plano, tal que EA = EB, e provemos que E pertence `a mediatriz de AB.

De fato, ligando E com o ponto m´edio M de AB e seja os triˆangulos AME e
BME. Temos:


 EA = EB (Hip´otese)
AM = BM (Constru¸c˜ao)


EM =