GABEquacoesAlgebricas2013

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROF. WALTER TADEU www.professorwaltertadeu.mat.br

Equações Algébricas – 2013 - GABARITO
1. (PUC) A multiplicidade da raiz x = 1 da equação x4 – x3 – 3x2 + 5x – 2 = 0 é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Solução. Verificamos através do dispositivo de Briot-Ruffini quantas vezes o resto é nulo na divisão por (x – 1).

Logo a multiplicidade da raiz x = 1 é três.

OBS: A última divisão com resto zero apresentou um quociente da forma Q(x) = x + 2. A outra raiz, portanto, é x = – 2.

2. (UNIRIO) Sabendo-se que o número 3 é raiz dupla da equação ax3 + bx + 18 = 0, os valores de a e b são respectivamente:

a) 1/3 e – 9 b) 1/3 e 9 c) – 1/3 e – 9 d) – 1/3 e – 9 e) 1 e – 3

Solução. Há três raízes. Como o termo de grau 2 é zero, então a soma das raízes é nula. Se 3 é raiz dupla e r a outra raiz, temos que 3 + 3 + r = 0 => r = – 6 é a outra raiz. Substituindo na equação temos:

.

3. (PUC) Qual o grau mínimo que um polinômio de coeficientes reais admite, sabendo que são zeros desse polinômio z1 = 1 + i e z2 = – 1 + i?

Solução. Se os coeficientes são reais, caso haja uma raiz complexa, seu conjugado também será raiz. Logo, se é raiz, também é raiz. O mesmo acontecerá com e . Logo, no mínimo, o polinômio terá quatro raízes e será de grau 4.

4. (UFF) Considere as seguintes afirmações sobre polinômios de coeficientes reais:

(I) Todo polinômio de grau ímpar admite pelo menos um zero real

(II) Um polinômio de grau par pode ter todos os zeros complexos

(III) 2 + i e 3 - i podem ser zeros de um mesmo polinômio do 3º grau

São verdadeiras:

a) I e II b) I e III c) II e III d) Todas e) Nenhuma

Solução. Analisando as afirmações, temos:

(I)