Ga Aula05 Vetores

Vetores V

Produto Misto
Sejam u, v e w vetores quaisquer. O produto misto dos vetores u, v e w, indicado por [u, v, w] , é o número real
 [u, v, w]= (u x v) . w


Exemplo 1
Dados os vetores u = (1,0,2), v = (-1,1,3) e w = (0,3,-2) , temos:
 [u, v, w] = ?




[v, u, w] =?

Exemplo 1
Dados os vetores u = (1,0,2), v = (-1,1,3) e w = (0,3,-2), temos:
 [u, v, w] = [(1,0,2) x (-1,1,3)] . (0,3,-2) = (2,-5,1) . (0,3,-2) = -17
 [v, u, w] = [(-1,1,3) x (1,0,2)] . (0,3,-2) =
(2,5,-1) . (0,3,-2) =17


Interpretação geométrica
Seja o paralelepípedo de arestas AB, AD e AE. Sabemos que o volume V desse paralelepípedo é:
V = área da base x altura 

Interpretação geométrica
Considerando a altura h desse paralelepípedo, em relação à base ABCD e aplicando cálculo vetorial obtem-se
 V =| AB x AD | h


Interpretação geométrica


A altura pode ser calculada como o módulo da projeção do vetor AE na direção de AB x AD, pois AB x AD é ortogonal ao plano ABC



h = | proj (AB x AD) AE| = | (AE.(ABxAD)º) (AB x
AD)º| = | (AE.(AB x AD)º)| = | AE | | cosθ|



onde θ é o ângulo entre os vetores AE e ABxAD

Interpretação geométrica


Logo, V = | AB x AD| | AE | | cos θ | =
|(AB x AD ).AE |= | [AB,AD,AE] |



Ou seja, V = | [AB,AD,AE] |

Interpretação Geométrica
Considere agora o tetraedro de arestas
AB, AD e AE. Seja VT o volume desse tetraedro  Logo
 VT = 1/3 áreaBase


X altura



Considerando a base ABD desse tetraedro, nota-se que a altura relativa a essa base coincide com a altura do paralelepípedo anterior



Logo, VT = 1/3 (1/2 | AB x AD|) |AE ||cosθ|



=1/6 |(AB x AD ).AE |



= 1/6| [AB,AD,AE] |

Exemplo 2


Considere o paralelepípedo de arestas
OA, OB e OC, onde OA = (1,0,2), OB =
(1,1,3) e OC = (2,1,0). Calcule o volume V deste paralelepípedo

Exemplo 2
Considere o paralelepípedo de arestas
OA, OB e OC, onde OA = (1,0,2), OB =
(1,1,3) e OC = (2,1,0). Calcule o volume V deste paralelepípedo
 V =| [OA,OB,OC] | = | (OA x OB) . OC|
 =| (-2,-1,1) .