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Cap´ ıtulo 2

Sistemas de Equa¸oes c˜ Lineares
2.1

Generalidades

Chamamos equa¸˜o linear nas vari´veis (inc´gnitas) x1 , x2 , x3 , ..., xn a ca a o uma igualdade da forma a1 .x1 + a2 .x2 + a3 .x3 + ... + an .xn = b.
Os elementos a1 , a2 , a3 , ..., an e b s˜o n´meros reais e s˜o denominados coea u a ficientes da equa¸˜o; b ´ denominado termo independente. ca e
Temos como exemplos:
1) 7x1 + 9x2 = 5
2) −2x + 5y − 7z = 20
3) x − 5y − 2z + 3w = 10
Chamamos solu¸˜o de uma equa¸˜o linear a todo o vector (s1 , s2 , . . . , sn ) ca ca que, ao serem feitas as subsitui¸˜es xi = si , nas inc´gnitas xi , com 1 ≤ i ≤ n, co o origina uma igualdade verdadeira.
Por exemplo, a equa¸˜o ca x − 5y − 2z + 3w = 10 tem como solu¸˜o (1, 0, 0, 3) uma vez que, substituindo na equa¸˜o os valores ca ca x = 1, y = 0, z = 0 e w = 3, obtem-se a igualdade 1−5×0−2×0+3×3 = 10.
Contudo, esta n˜o ´ a unica solu¸˜o. Por exemplo, (0, −2, 3, 2) ´ tamb´m a e ´ ca e e solu¸˜o, uma vez que 0 − 5 × (−2) − 2 × 3 + 3 × 2 = 10. Com efeito, existem ca 1

CAP´
ITULO 2. SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES
¸˜

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infinitas solu¸˜es (um n´mero infinito de vectores de R4 ) que satisfazem ` co u a equa¸˜o dada. ca Definimos como sistema de equa¸˜es lineares um conjunto de duas co ou mais equa¸˜es lineares. Genericamente, representa-se da seguinte forma co um sistema de m equa¸˜es a n inc´gnitas co o

 a11 .x1 + a12 .x2 + a13 .x3 + ... + a1n .xn = b1


 a21 .x1 + a22 .x2 + a23 .x3 + ... + a2n .xn = b2
(2.1)
.
.

.


 am1 .x1 + am2 .x2 + am3 .x3 + ... + amn .xn = bm , onde x1 , x2 , x3 , ..., xn s˜o as n inc´gnitas a o a1 , a2 , a3 , ..., an s˜o os coeficientes a b1 , b2 , b3 , ..., bn s˜o os termos independentes. a O sistema (??) pode ser escrito na forma matricial
A · X = B, onde 

a1n a2n .
.
.

am1 am1 · · ·



A=


···
···
..
.

amn

a11 a21 .
.
.

a12 a22 .
.
.




,


