FichaPratica04

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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
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MATEMATICA
II - 2013/2014
Ficha pr´atica 4


1 0
1. Considere as matrizes A =  1 1
2 0



0
1 0
1 eB= 0 1
1
1 0


0
0 .
1

(a) Determine 2B, A+B, AB, A2 e Tr(A).
(b) Determine, se poss´ıvel, a matriz inversa de ABT .






1
1
1
1 x 2. Considere as matrizes A =  2 a+1 3 , B =  1 + b  e X =  y . a+1 2 a+1 1−b z (a) Classifique, em fun¸ca˜o dos parˆ ametros reais a e b, o sistema cuja equa¸ca˜o matricial ´e AX = B.
(b) Para a = 0, classifique o sistema homog´eneo associado ao anterior e resolva-o.
3. Considere o seguinte sistema de equa¸co˜es lineares, nas inc´ ognitas reais (x, y, z, w) e em que a, b ∈ R:

x−y+z+w



2x + (a − 1)y + 2z + 4w

3x
+ (a − 2)y + 4z + 3w


−2x + (2a + 4)y − z + 2bw

=
=
=
=

0
2
3
2a + 4

Discuta o sistema em fun¸ca˜o dos parˆ ametros a e b.
4. Considere o sistema de equa¸co˜es lineares A(k)X=B(k), onde k ∈ R e







2 2(k − 1)
0
3k + 1 x A(k) =  1 k−2 1 , B(k) =  2k + 1 , X =  y .
1
k
−k 2
1
z
(a) Discuta o sistema em fun¸ca˜o do parˆ ametro real k.
(b) Resolva o sistema, para k = 1.
(c) Calcule a matriz inversa de A(0).
(d) Utilize o resultado anterior para calcular a solu¸ca˜o do sistema A(0)X=B(0).

1 0 −1
5. Seja g o endomorfismo de R3 cuja matriz A, em rela¸ca˜o `a base can´onica de R3 , ´e  0 1 1 .
−1 0 1
Determine a matriz B, de g, em rela¸ca˜o `a base ((1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)), usando matrizes de mudan¸ca de base.
