FICHAMENTO LIVRO STREINBRUCH

STEINBRUCH, A., WINTERLE, P. Álgebra Linear. Editora Makron Books. 1987
ESPAÇOS VETORIAIS
Definição:
Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações adição e multiplicação por um escalar, ou seja,
∀u, v ∈ V, u + v ∈ V
∀α ∈ R, ∀u ∈ V, αu ∈ V.
O conjunto V com essas duas operações é chamado espaço vetorial real (ou espaço vetorial sobre R) se as seguintes propriedades forem satisfeitas:
A) Em relação à adição: ∀u, v, w ∈ V
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
A2) u + v = v + u
A3) ∃ 0 ∈ V tal que u + 0 = u
A4) ∃ –u ∈ V tal que u + (–u) = 0 M) Em relação à multiplicação por escalar: ∀u, v ∈ V e ∀α, β ∈ R
M1) (αβ) u = α (βu)
M2) (α + β) u = αu + βu
M3) α (u + v) = αu + αv
M4) 1u = u
Exemplo:
1. V = R² = {(x, y)/ x, y ∈ R} é um espaço vetorial com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) α (x, y) = (αx, αy)
2. V = M (m,n), o conjunto das matrizes reais m x n com a soma e o produto por escalar usuais. Em particular:

STEINBRUCH, A., WINTERLE, P. Álgebra Linear. Editora Makron Books. 1987

2.1. V = M (n,n) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n;
2.2 V = M (1,n) = {[a11, a12, ..., a1n]; aij ∈ R}, também identificado com V = Rn são espaços vetoriais relativamente às mesmas operações.
3. O conjunto Pn = {a0 + a1x + a2x² + ... + anxn; ai ∈ R} dos polinômios com coeficientes reais de grau ≤ n, em relação às operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por escalar.
Em particular, o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2,
P2 = {a0 + a1x + a2x²; ai ∈ R} é um espaço vetorial relativamente às mesmas operações.

Propriedades dos espaços vetoriais
Da definição de espaço vetorial V decorrem as seguintes propriedades:
i. Existe um único vetor nulo em V (elemento neutro da adição). ii. Cada vetor u ∈ V admite apenas um simétrico (–u) ∈ V. iii. Para quaisquer u, v, w ∈ V, se u + v = u + w, então v = w.
iv.