Equações diferenciais

EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS, 2ª ORDEM
FORMA : y'' + a1 y' + a0 y = 0 (a0, a1 constantes)
Ex: y =
Então y' = e y'' =
Substituindo na equação dada: ou () = 0 0 para todo x, logo devemos ter = 0, que é uma equação do segundo grau na variável , chamada EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA. A solução da equação diferencial linear irá depender da raízes 1 e 2. 1, 2 números reais e distintos C1 e C2 são soluções particulares da EDO e a solução geral é y = C1 + C2
1 = 2 = (números reais e iguais) a solução geral da EDO é y = C1 + C2x
1 = a + bi, 2 = a - bi (complexos conjugados: a, b reais) a solução geral é y = C1 + C2 Ex: y'' - 2y' - 15y = 0
Equação característica: - 2 - 15 = 0 cujas raízes são: 1 = 5, 2= -3 Solução geral: y = EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N
Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma: fn(x)y(n) + fn-1(x) y(n-1) +...+ f2(x) y'' + f1(x)y' + f0(x)y = k(x) onde k(x) e os coeficientes fi (x) são funções de x. CLASSIFICAÇÕES:
Equação linear homogênea (k(x) = 0), ou equação linear não-homogênea (k(x) 0).
Equação linear: de coeficientes constantes ( f0, f1, f2, ..., fn constantes) de coeficientes variáveis (pelo menos um fi variável) EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS
Se P e Q têm derivadas parciais contínuas, então: P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 é uma equação diferencial exata se e somente se
Ex: (3x² - 2y³ + 3)dx + (x³ - 6xy² + 2y)dy = 0
P(x,y) = 3x²y - 2y³ + 3 e Q(x,y) = x³ - 6xy² + 2y e logo Px = Qx e a equação diferencial é exata. TEOREMA: A equação diferencial linear de primeira ordem y' + P(x)y = Q(x) pode ser transformada em uma equação diferencial de variáveis separáveis multiplicando-se ambos os membros pelo fator integrante .
Ex:
Solução: A equação tem a forma do teorema onde, P(x) = -3x² e Q(x) = x²
Pelo teorema:
Multiplicando todos os termos pelo fator integrante:
- 3x²y = x² ou = x²dx = + C
A