Equações diferenciais

Equa¸˜es Diferenciais de 2a. ordem, lineares, homogˆneas com coeficientes constantes co e 2a. ordem ⇒ a equa¸˜o envolve y ca lineares ⇒ ´ da forma f (x) y + g (x) y + h (x) y = l (x) e homogˆneas ⇒ l (x) = 0 e coeficientes constantes ⇒ f (x) , g (x) , h (x) ∈ R Exemplo: y − 2y − 3y = 0 f, g, h, l fun¸˜es co Exemplo: xy + x2 y − ex y = senx

Defini¸˜o 1 As fun¸˜es y1 e y2 s˜o ditas linearmente independentes se nenhuma delas ´ igual ao produto da outra ca co a e por uma constante. Caso contr´rio s˜o linearmente dependentes. a a Exemplo 1 y1 = er1 x e y2 = er2 x (r1 , r2 ∈ R com r1 = r2 ) s˜o linearmente independentes, pois a y1 er1 x = r2 x = e(r1 −r2 )x n˜o ´ constante, porque r1 − r2 = 0 a e y2 e e y2 er2 x = r1 x = e(r2 −r1 )x n˜o ´ constante a e y1 e

• Se y1 e y2 s˜o solu¸˜es linearmente independentes da EDO linear homogˆnea, ent˜o as solu¸˜es s˜o dadas por a co e a co a y = C1 y1 + C2 y2 , onde C1 e C2 s˜o constantes arbitr´rias. a a • Se r2 + pr + q = 0, onde p, q, r ∈ R, a fun¸˜o y = erx (r ∈ R) ´ uma solu¸˜o da EDO y + py + qy = 0 (♣) ca e ca De fato: y = rerx e y = r2 erx ⇒ y + py + qy = r2 erx + prerx + qerx = erx r2 + pr + q = 0
=0 =0

• A equa¸˜o r2 + pr + q = 0 ´ chamada equa¸ao caracter´ ca e c˜ ıstica de (♣) . • Se r1 e r2 s˜o solu¸˜es da equa¸˜o caracter´ a co ca ıstica, ent˜o y = C1 er1 x + C2 er2 x , onde C1 , C2 ∈ R, s˜o solu¸˜es de (♣) . a a co

y Note: r2

+ p y + p r

+ q

y

=0

+ q ·1 = 0

Exerc´ ıcio 1 Mostre que as fun¸˜es y1 = er0 x e y2 = xer0 x (r0 ∈ R) s˜o linearmente independentes. co a Exerc´ ıcio 2 Mostre que y = xerx (r ∈ R) ´ uma solu¸˜o de (♣) se p, q, r ∈ R, r2 + pr + q = 0 e se ∆ = p2 − 4q = 0. e ca Exerc´ ıcio 3 Sendo z = α + iβ e z = α − iβ, mostre que ¯
¯ y = C1 · ez + C2 · ez = (C1 + C2 ) eαx cos (βx) + i (C1 − C2 ) eαx sen (βx).

Lembrete: eiθ = cos θ + isenθ (F´rmula de Euler) o

cos (−x) = cos x

sen (−x) = −sen (x)

CASO 1 ∆ > 0 Exemplo 2 Resolver

y = C1 · er1 x + C2 · er2 x

a) y − 2y −