Equa EsAlg Bricas

Demonstração:

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

Suponha que α seja raiz inteira de P(x) = 0 então P(α) = 0

Uma equação algébrica de incógnita x, de grau n, n ∈ IN, é uma expressão do tipo:

an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a1 x + a0 = 0

an x n + an −1x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a1x + a0 = 0

a n α n + a n −1α n −1 + a n − 2 α n − 2 + ... + a 1α + a 0 = 0

a0, a1, ..., an → coeficientes a 0 = − a n α n − a n −1α n −1 − a n − 2 α n − 2 − ... − a1α

Se algum dos coeficientes for nulo, diz-se que a equação é incompleta.

a 0 = α ( − a n α n −1 − a n −1α n − 2 − a n − 2 α n − 3 − ... − a1 )

Exemplos:

a0

α

1) 2x - 4 = 0 → do 1 grau
0

= ( − a n α n −1 − a n −1α n − 2 − a n − 2 α n − 3 − ... − a1 )

2) x - 5x + 6 = 0 → do 2 grau
2

0

3) x + 3x + 3x + 1 = 0 → do 3 grau
3

2

0

inteiro

4) x4 – 1 = 0 → do 40 grau incompleta
Logo:

Uma solução ou raiz de uma equação algébrica é um número que torna verdadeira a equação.

TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS

2x – 4 = 0, pois 2.2 – 4 = 0.

As raízes racionais fracionárias obedecem ao teorema: 2) x = 2 é uma solução ou raiz da equação
2

x - 5x + 6 = 0, pois 2 – 5.2 + 6 = 0

N
Se o número racional e irredutível D for raiz de uma equação de coeficientes inteiros,

x = 3 também é uma solução ou raiz da
2
2 equação x - 5x + 6 = 0, pois 3 – 5.3 + 6 = 0.

an x n + an −1x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a1x + a0 = 0

x = i = − 1 é uma raiz da equação x = int eiro

Para descobrir as raízes inteiras (se existirem), basta pesquisar os divisores
(positivos ou negativos) de a0.

1) x = 2 é a solução ou raiz da equação

2

α

Então α é divisor de a0

Exemplos:

2

a0

+ 1 = 0, pois ( − 1 )

2

então N é divisor de a0 e D é divisor de an.

+1 = 0 .

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

TEOREMA DAS RAÍZES INTEIRAS

Toda equação algébrica racional e inteira admite pelo menos uma raiz, real ou complexa. Toda raiz inteira não nula de uma equação polinomial de coeficientes inteiros é divisor do termo independente a0.

A equação an x n + an −1x