Engenhariaa 1

ETAPA 1
PASSO 1
Taxa de variação média.
Está razão é chamada de quociente de diferenças. Taxa de variação média de f no intervalo de a até a+h. fa+h-f(a)h * É a variação absoluta dividida pelo intervalo.
Ex: O volume V de uma esfera de raio r é dado por V=4πr3/3
Resolvendo para r em função de V obtemos: r=fV=3v4π1/3 Calcule a taxa de variação média de r em relação a V no intervalo 0,5≤1 e 1≤1,5.
Taxa de variação média do raio para 0,5≤V≤1 f1,5-f(0,5)0,5=234π1/3-1,54π1/3≈0,26 Taxa média de variação do raio 1≤V≤1,5 f1,5-f(1)0,5=24,54π1/3-34π1/3≈0,18 R: portanto a taxa diminui quando a volume aumenta.

Taxa de variação Instantânea
Definimos a taxa de variação instantânea de uma função em um ponto da mesma forma que definimos a velocidade instantânea: consideramos a taxa de variação média em intervalos cadê vez menores. Essa taxa de variação instantânea é chamada de derivada de f em a e denotada por f’(a).
Taxa de variação de f em a f'a=limh→0 fa=h-f(a)h
Ex: Escolhendo valores pequenos de h, estime a taxa de variação instantânea de raio r de uma esfera em relação a variação em volume em V=1.
A formula r=f(V) foi dada no exemplo 1.
Com h=0,01 e h=-0,01 temos os quocientes de diferenças f1,01-f10,01≈0,2061 e f0,99-f1-0,01≈0,2075
Com h=0,001 e h=-0,001 f1,001-f(1)0,001≈0,2067 e f0,999-f(1)-0,001 ≈0,2069
Os valores desses quocientes de diferenças sugere que o limite está entre 0,2061 e 0,2075. Concluímos que o valor deve ser em torno de 0,207; escolhendo valores menores de h confirma nossa hipótese. Logo. f'1= taxa de variação instantânea do raio em relação ao volume em V=1

ETAPA 1
PASSO 4
Derivada segunda
Como a derivada é, ela própria, uma função, podemos considerar sua derivada. Para uma função f, a derivada de sua derivada é chamada de derivada segunda e denotada por f’’ (lê-se f duas linhas). Se y=f(x), a derivada segunda também pode ser denotada por d2ydx2 , o que significa ddxdydx a derivada de dydx
Como f’’ é