Documento 181

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POSTULADOS.
1. Pede-se como cousa possível, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha reta.
2. E que uma linha reta determinada se continue em direitura de si mesma, até onde seja necessário. 3. E que com qualquer centro e qualquer intervalo se descreva um circulo
PROPOSIÇÃO I. PROBLEMA.
Sobre uma linha reta determinada descrever um triangulo equilátero (Fig. 18).

Fig. 18
Seja a linha reta AB de um certo comprimento. Se deve sobre ela descrever um triangulo equilátero.
Com o centro A e com o intervalo AB se descreva ( Post. 3 ) o circulo BCD; e com o centro B e com o intervalo BA se descreva o circulo ACE. Do ponto C, onde os círculos se cortam reciprocamente, se tirem ( Post.1 ) para os pontos A, B as retas CA, CB. O triangulo ABC será equilátero. Sendo o ponto A o centro do circulo BCD, será AC=AB ( Defini. 15 ). E sendo o ponto B o centro do circulo CAE, será BC=BA. Mas temos visto CA=AB. Logo tanto CA, como
CB, é igual a AB. Mas as cousas, que são iguais a uma terceira, são iguais entre si ( Ax. 1 ). Logo será CA=CB. Logo as três retas CA, AB, BC são iguais; e por consequência o triangulo ABC, feito sobre a reta dada AB, é equilátero.
PROP. II. PROB.
De um ponto dado tirar uma linha reta igual á outra reta dada ( Fig. 19 ).

aa
Dadas duas linhas retas desiguais, cortar da linha maior uma parte igual á linha menor
( Fig. 20 ).

Fig. 20

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Sejam as duas retas desiguais AB, e C, e seja AB maior. Se deve da reta maior AB cortar uma parte igual á reta menor C.
Do ponto A se tire ( Pr. 2, 1 ) a reta AD=C. Com o centro A e o intervalo AD se descreva ( Post.
3 ) o circulo DEF. Porque o ponto A é o centro do circulo DEF, será AE=AD. Mas é também
C=AD. Logo tanto AE, como C, será igual a AD; e por consequência AE=C ( Ax. 1 ). Logo temos tirado da reta maior AB uma parte igual á reta C<AB.
PROP. IV. THEOREMA.
Se dois triângulos tiverem dois lados iguais a dois lados, cada um a cada um; e os ângulos, compreendidos por estes