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Ensino Superior

Introdução aos Sistemas Dinâmicos
3 – Transformada de Laplace

Amintas Paiva Afonso

Sumário
3.1 Introdução
3.2 Revisão das variáveis complexas e das funções complexas.
3.3 Transformada de Laplace.
3.4 Teoremas da Transformada de Laplace.
3.5 Transformada inversa de Laplace.

3.1 Introdução

3.2 Definição da Transformada de Laplace

3.2 Definição da Transformada de Laplace

3.2 Definição da Transformada de Laplace

3.2 Definição da Transformada de Laplace f(t) = uma função de tempo t em que f(t) = 0 para t < 0 s = uma variável complexa
L = Operador de Laplace - um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser tranformada por meio da integral de Laplace



0

e  st dt

F(s) = transformada de Laplace de f(t)

Então, a transformada de Laplace de f(t) é dada por:


 st
F
( s )

e f (t )dt
L [f(t)]=


0

Desde que a integral convirja

3.2 Definição da Transformada de Laplace
Portanto, o método consiste em resolver equações diferenciais como se fossem equações algébricas.
Definição: Dada uma função f(t) definida no intervalo [0, ) definimos a sua transformada de Laplace, F(s), por

F (s) 




0

e  st f (t )dt L( f (t ))

Supondo que a integral convirja pelo menos para algum valor de s.

3.2 Definição da Transformada de Laplace
• A transformada de Laplace é um método operacional que pode ser usado de maneira proveitosa para solucionar equações diferenciais lineares. • Por meio de sua utilização, podemos converter muitas funções comuns, como funções senoidais, amortecidas e funções exponenciais, em funções algébricas de uma variável complexa s.
• Operações como diferenciação e integração podem ser substituídas por operações algébricas no plano complexo.
• Assim, a equação diferencial linear pode ser transformada em uma equação algébrica em uma variável complexa s.

3.2 Definição da Transformada de Laplace
• Se a equação algébrica em s for solucionada em termos da variável dependente, então a solução da