Distribuiçao eletronica

Notas de Aula Cálculo Diferencial e Integral II

Licenciatura/Bacharelado em Química
Prof: Eduardo Delmondes Silva

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Integração e Integral Definida
1.1 Antidiferenciação
Definição 1. Uma função F : R → R será chamada de antiderivada de uma função f : R → R, num intervalo I se F (x) = f (x) ∀x ∈ I. Se F for definida por F(x) = 4x3 + x2 + 5

então, F (x) = 12x2 + 2x. Assim, se f for a função definida por f (x) = 12x2 + 2x logo, afirmamos que f é a derivada de F e que F (x) e que F é uma antiderivada de f . Se G for a função definida por G(x) = 4x3 + x2 − 17 então, G também será uma antiderivada de f , pois G (x) = 12x2 + 2x. Na realidade, toda função cujos valores funcionais são dados por 4x3 + x2 + C, onde C é uma constante qualquer ∈ R, é uma antiderivada de f . Em geral, se uma função F for antiderivada de uma função f num intervalo I e se função G for definida por G(x) = F(x) + C onde C é uma constante arbitrária, então G(x) = F(x) = f (x) e G também será uma antiderivada de f no intervalo I. Se F for qualquer antiderivada particular de f num intervalo I, então toda antiderivada de f em I será dada por F(x) + C, onde C é uma constante arbitrária. Necessitaremos primeiro de um teorema preliminar. 2

Teorema 1. Se f e g forem duas funções, tais que f (x) = g (x) ∀ x ∈ I, então haverá uma constante C, tal que f (x) = g(x) + C; ∀ x ∈ I. Demonstração: Seja h a função definida em I por h(x) = f (x) − g(x) assim sendo, ∀ x ∈ I, h (x) = f (x) − g (x). h (x) = 0; ∀x ∈ I.

Mas, por hipótese, f (x) = g (x) ∀ x ∈ I. Logo,

Assim, se h (x) = 0, ∀x ∈ I, então h será constante em I, tal que h(x) = C; ∀x ∈ I.

Teorema 2. Se F for uma antiderivada particular de f em um intervalo I, então toda antiderivada de f em I será dada por F(x) + C, (1.1)

onde C é uma constante arbitrária e todas as antiderivadas de f em I poderão ser obtidas de (1.1), atribuindo-se certos valores a C. Demonstração: Suponha que G represente qualquer antiderivada de f em I então G (x) = f