Difereciabilidade

Universidade da Beira Interior

MATEMÁTICA II
Folha de exercícios 5 (Parte II): Funções de várias variáveis reais


Departamento de Matemática
Gestão
X X X

2011/12

Derivadas parciais e derivadas direccionais Diferenciabilidade Plano tangente

Considere a função f dada por:
2xy , (x, y) ̸= (0, 0) x2 + y 2 f (x, y) =  0, (x, y) = (0, 0).  

(a) Estude a função quanto à continuidade. (b) Estude a função quanto à diferenciabilidade. (c) Calcule
∂f (P ), com: ∂u

(i) P = (0, 0) e u = (1, 1);
∫

(ii) P = (1, 2) e u = (1, 0).

(d) Determine o plano tangente ao gráco de f no ponto (1, 1, f (1, 1)). (e) Calcule
2

f (x, 2) dx.

1

(f) Usando aproximações lineares, calcule o valor aproximado de f (1, 01; 3, 98).


Seja f uma função denida por: f (x, y) = √ x2 − y + ex .

(a) Determine analiticamente e geometricamente o domínio de f . (b) Estude a diferenciabilidade da função. (c) Usando aproximações lineares, calcule o valor aproximado de f (0; −3, 9). (d) Justique que existe o plano tangente ao gráco de f no ponto (2, 0) e determine a respectiva equação. (e) Considere a função g(x, y) = { f (x, y) se y < x2 K

se y ≥ x2 , K ∈ R. lim (x,y)→(1,1)

Determine o valor de K de modo que exista 1

g(x, y).

!

Seja f (x, y) =

{

xex(y−1)

se 1 + x ̸= y x + y − 1 se 1 + x = y.

(a) Determine

∂f ∂f (0, 1), (0, 1). ∂x ∂y

(b) Seja v = (v1 , v2 ) ∈ R2 um vector arbitrário. Calcule

∂f (0, 1). ∂v ∂f (c) Determine os vectores para os quais se verica a igualdade (0, 1) = Dv f (0, 1). ∂v

"

Seja f a função dada por: f (x, y) = { √ y x2 + y 2 , (x, y) ̸= (0, 0) 2, (x, y) = (0, 0).

(a) Mostre que f não é continua em (0, 0). (b) Estude a função quanto à diferenciabilidade. (c) Calcule
∫
1

f (1, y) dy .

0

(d) Usando aproximações lineares, calcule o valor aproximado de f (1, 2; 2, 89).
#

Seja f uma função denida por: f (x, y) = e
√ y−x

+ ln x.

(a) Determine analiticamente e