dicas para resolução de exercícios de demonstração

Lista 2 - BM
Bases matem´ticas: Conjuntos a 2◦ quadrimestre de 2014 - Professor Maur´ ıcio Richartz
OBS: Essas s˜o apenas dicas/sugest˜es! Na maioria dos casos a demonstra¸˜o n˜o est´ a o ca a a completa! Em alguns casos, existem diversas maneiras de resolver o problema! Se algu´m achar e algum erro, por favor me avise.
1. a) {1, 2, 3, 4} b) {2, 3, 4} e) {5, 7}.
2. a) Demonstra¸˜o que A ∩ A ⊂ A: se x ∈ A ∩ A ent˜o x ∈ A e x ∈ A logo x ∈ A. ca a
Demonstra¸˜o que A ⊂ A ∩ A: se x ∈ A ent˜o x ∈ A e x ∈ A logo x ∈ A ∩ A. ca a
d) Use o fato de que x ∈ B − A ´ equivalente a x ∈ B ou x ∈ A.
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e) Prove por absurdo. Se x ∈ A e x ∈ B − A ⇒ x ∈ A e x ∈ B e x ∈ A.
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f) Ida: Seja x ∈ A ∪ (B − A) ⇒ x ∈ A ou x ∈ B − A. Separe em dois casos: x ∈ A ou x ∈ A.
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Volta: separe nos mesmos dois casos.
h) Mostre que x ∈ A ∪ B ´ equivalente a x ∈ A e x ∈ B.
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i) Mostre que x ∈ A ∩ B ´ equivalente a x ∈ A ou x ∈ B.
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j) Ida: separe em dois casos, x ∈ A ou x ∈ A.
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k) Volta: separe em dois casos, x ∈ A ou x ∈ A.
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l) Demonstraremos apenas uma das conten¸˜es, que ℘(A)∩℘(B) ⊂ ℘(A∩B). Se C ∈ ℘(A)∩℘(B) co ent˜o C ∈ ℘(A) e C ∈ ℘(B) e pela defini¸˜o de conjunto potˆncia, C ⊂ A e C ⊂ B, logo se a ca e c ∈ C temos que c ∈ A e c ∈ B, ou seja c ∈ A ∩ B, ou seja C ⊂ A ∩ B, e logo C ∈ ℘(A ∩ B).
4. a) Se x ∈ A ent˜o, como A ⊂ B, x ∈ B. Como por hip´tese B ⊂ C. se x ∈ B ent˜o x ∈ C. a o a c) Demonstraremos primeiramente que se A ⊂ B ent˜o A ∪ B = B. Nesse caso provaremos que a se A ⊂ B ent˜o A ∪ B ⊂ B e que se A ⊂ B ent˜o B ⊂ A ∪ B. a a
Se x ∈ A ∪ B, ent˜o x ∈ A ou x ∈ B. No caso em que x ∈ A, usando que por hip´tese A ⊂ B a o temos que x ∈ B.
Se x ∈ B ent˜o x ∈ B ou x ∈ A, e assim x ∈ A ∪ B. a Agora demonstraremos que se A ∪ B = B ent˜o A ⊂ B. Seja x ∈ A, ent˜o x ∈ A ∪ B e como a a
A ∪ B = B ent˜o x ∈ B. a d) Ida (⊂): seja x ∈ A ⇒ {x} ⊂ A ⇒ {x} ∈ P(A). Pela hip´tese, x ∈ P(B) ⇒ {x} ⊂ B ⇒ x ∈ B. o 5. (a), (c), (e):