definicao

Definição 6.1. Dada a função f I: → , um ponto I x0 ∈ é chamado de i ponto de máximo relativo (ou local) da função qua )( ndo
0
f x f x ( ) ( ) ≥ para todo x I ∈ ; ii ponto de mínimo relativo (ou local) da função qua )( ndo
0
f x f x ( ) ( ) ≤ para todo x I ∈ . O valor 0 f x( ) é chamado de máximo ou mínimo relativo (ou local) de f e
( x f x 0 0 , ( )) são as coordenadas do ponto de máximo ou mínimo relativo (ou local) de f . Os máximos e mínimos de uma função são também chamados de extremos relativos. Definição 6.2. Dada a função f x( ) , um ponto 0 x onde f é derivável em 0 x e
0
f x'( ) 0 = ou f não é derivável em 0 x é chamado de ponto crítico da função f . Exemplo 6.1. Seja a função 3 2 f x x x ( ) 3 = − , x∈ . Determinar os pontos críticos de f . Resolução: Sabemos que 3 2 f x x x ( ) 3 = − é uma função polinomial derivável em todo x∈ . Calculando f x'( ) temos ( )
2
f x x x x x '( ) 3 6 3 2 = − = − Agora f x'( ) 0 = implica em 2
3 6 0 x x − = , ou seja, x = 0 e x = 2 são os pontos críticos da função 3 2 f x x x ( ) 3 = − .
Exemplo 6.2. Determinar o ponto crítico da função
2
3 f x x ( ) ( 1) = − , x∈ . Resolução: Calculando f x'( ) , temos ( ) ( )
( )
2 1 1
3 3
1
3
2 2 2 1 '( ) 1 1
3 3 3 1 f x x x x − −
= − = − = ⋅
−
, ou, 2
( )
1
3
2 1 '( )
3
1 f x x = ⋅
−
. A função dada não derivável em x =1, isto é, não existe f '(1). Nesse caso, x =1 é o único ponto crítico de f . Exemplo 6.3. Calcular os pontos críticos da função 3 2 f x x x x ( ) 1 = + − + no intervalo
1
2
[ 2, ] − . Resolução: Inicialmente temos se 3 2 f x x x x ( ) 1 = + − + então 2 f x x x '( ) 3 2 1 = + − . Fazendo f x ´( ) 0 = , vem 2
3 2 1 0 x x + − = .
Resolvendo a equação pela fórmula de Bháskara encontramos as raízes x = −1 e
1
3 x = .
Portanto, x = −1 e
1
3 x = são os pontos críticos de 3 2 f x x x x ( ) 1 = + − + em 1
2
[ 2, ] − .