Cálculo IV prova ufrj

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matem´tica a Departamento de Matem´tica a 2a Prova Unificada

Disciplina: C´lculo Diferencial e Integral IV a Unidades: Escola Polit´cnica e Escola de Quimica e C´digo: o MAC 248

(1) (3,0 p) Seja f (x) = 1 + x ,

Turmas: Engenharias 2o Sem/2012
Data: 21/02/2013

0 < x < 1.

(a) Determine uma extens˜o ´ a ımpar e peri´dica de periodo 2 de f . (1,0 p) o (b) Determine a s´rie de Fourier de senos que representa f para 0 < x < 1. e (1,0 p)
(c) Determine o gr´fico da s´rie de Fourier obtida no ´ a e ıtem (b) no intervalo [−3, 3].
(1,0 p)
Solu¸˜o:
ca
(a) Seja f : R → R extens˜o ´ a ımpar peri´dica de f de periodo 2. o Para −1 < x < 0 vale f (x) = −f (−x) = −f (−x) = −(1 − x) = x − 1.
(0,2pt)
Para x = 0 e x = 1 vale f (0) = f (1) = 0.

x − 1 , se − 1 < x < 0

Portanto f (x) =
0,
se x = 0, x = 1

x + 1 , se 0 < x < 1

(0,5pt)

e f (x + 2) = f (x) (0,3pt)
+∞

(b) Como f ´ ´ e ımpar f tem s´rie de Fourier de senos: e bn sen(nπx)

(0,1pt)

n=1
1

onde bn = 2

(x + 1) sen(nπx) dx (0,2pt)
0

cos(nπx) bn = 2 (x + 1) − nπ u=x+1 du = dx
 2
−
,

nπ
=
6

,

nπ

1

1

+2
0

0

dv = sen(nπx) dx
=2
cos(nπx) v=− nπ se n ´ par e se n ´ ´ e ımpar

S´rie de Fourier: e 2 π +∞

n=1

=

2 π cos(nπx) dx = nπ −2 cos(nπ) + 1
+
nπ

1 + (−1)n+1 2 n 1 + (−1)n+1 2 n sen(nπx)

sen(nπ) n2 π 2

(0,5pt)

(0,2pt)

1

=
0

(c) Como a extens˜o ´ a ımpar de f ´ dada por e 

f (x) =



1+x se 0 < x < 1
0
se x = 0, 1
−1 + x se − 1 < x < 0

(1)

observamos que ±1 + x s˜o polinˆmios logo continuas em cada subintervalo a o aberto, os limites laterais nos pontos x = −1, 0, 1 s˜o finitos limitados por a −2, 0, 2, ass´ podemos afirmar que f ´ continua por partes em [−1, 1]. Por ım e outro lado, derivando f , obtemos

f (x) =

1