Cp2Aprof2014PAritmeticaAULA2 1

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
APROFUNDAMENTO DE MATEMÁTICA – 2014
PROFESSORES: MARIA HELENA / WALTER TADEU

AULA 2: Sequências Numéricas

Progressão Aritmética - RESUMO

Uma sucessão aritmética é também chamada de Progressão Aritmética se a diferença entre seus termos consecutivos for constante.

Termo Geral de uma Progressão Aritmética

Uma progressão aritmética genérica pode ser escrita da forma (a1, a2, a3, ... , an, ...) cuja a razão é r.
De acordo com a definição podemos escrever:

a2 = a1 + 1.r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
.....................................................

Podemos deduzir das igualdades acima que: an = a1 + (n – 1).r (denominada termo geral da PA).
Dessa fórmula, temos que:
→ an é o termo de ordem n (n-ésimo termo);
→ r é a razão;
→ a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.

Propriedades de uma PA

- 1ª Propriedade: Em toda Progressão Aritmética (PA), um termo qualquer, excluindo-se os extremos, é média aritmética entre o seu antecedente e o seu consequente.
Desta forma na P.A. temos: (a1, a2, ...ak-1, ak, ak+1 ... an-1, an) => Exemplo: P.A = (1,3,5,7,9,11,...) => ; ; etc.

- 2ª Propriedade: Em toda P.A. limitada, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Na P.A. (a1, a2,..., an-1, an) temos

Exemplo: PA (1,2,3,...98, 99, 100) => Temos: 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 1 + 100.

- 3ª Propriedade: Em toda P.A. de número ímpar de termos, o termo central ou termo médio é a média aritmética dos termos equidistantes a ele..
Exemplo: PA (3, 5, 7, 9, 11) => . Soma dos termos uma Progressão Aritmética (P.A.): Soma dos termos de uma P.A. finita (ou limitada) é igual ao produto da semissoma dos extremos pelo número de termos.

Demonstração. Se fizermos a soma dos n termos de uma PA finita ordenando de forma crescente e decrescente os termos teremos:

Como há n termos de mesmo valor (a1 + an), pela propriedade 2, temos: