Constante de euler

Progressões Geométricas - Soma dos Termos de uma P.G. Infinita

Em uma PG infinita a soma dos seus termos é chamada série geométrica.
Dependendo do valor da razão q, as séries geométricas podem ser convergentes ou divergentes.
Apenas serão convergentes, e portanto terão soma infinita S as séries geométricas convergentes, ou ainda as progressões geométricas de razão -1 < q < 1. |
Quando temos uma PG decrescente (0<q<1) podemos dizer que esta tem infinitos termos.Veja no exemplo a PG de primeiro termo igual a 4 e razão q=1/2:

Note que a cada termo que passa vai diminuindo mais e mais, chegando quase perto de zero. O termo a12 que vale 1/512 passando para decimais vale quase 0,002, e o termo a13 é mais ou menos 0,001, quanto mais alta a ordem do termo mais perto de zero ele chega, passando a ser insignificante na soma final.Por isso que podemos fazer a soma de todos os termos desta PG, mesmo ela tendo um número infinito de termos.

A soma dos termos de uma progressão geométrica finita é dada pela expressão: , onde q (razão) é diferente de 1. Alguns casos em que a razão q pertence ao intervalo –1 < q < 1, verificamos que quando o número de elementos n se aproxima do infinito (+∞), a expressão qn tende ao valor zero. Portanto, substituindo qnpor zero na expressão da soma dos termos de uma PG finita teremos uma expressão capaz de determinar a soma dos termos de uma PG infinita dentro do intervalo –1 < q < 1, observe:

Exemplo 1

Determine a soma dos elementos da seguinte PG: .

Exemplo 2

A expressão matemática da soma dos termos de uma PG infinita é recomendada na obtenção da fração geratriz de uma dízima periódica simples ou composta. Observe a demonstração.
Considerando a dízima periódica simples 0,222222 ..., vamos determinar sua fração geratriz.

Exemplo 3

Vamos determinar a fração que origina o seguinte número decimal 0,231313..., classificado como uma dízima periódica composta.

Exemplo 4