Ciências contabeis

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TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO
Sejam f : I → R uma fun¸˜o cont´ ca ınua definida num intervalo I e a um ponto em
I. Considere a fun¸˜o F : I → R, ca x

F (x) =

f (t) dt ,

(x ∈ I) ,

a

expressa pelo integral definido de f (x) entre a e o ponto variavel x. Ent˜o a dF
(x) = f (x) , dx para todo o x ∈ I ,

ou seja, F (x) ´ uma primitiva de f (x). e Interpreta¸˜o Cinem´tica ca a
Se v = f (x) representa a lei de velocidades no movimento de um ponto matex rial, quando o tempo x percorre um intervalo I, ent˜o o integral F (x) = a f (t) dt a representa o deslocamento do ponto no intervalo [a, x] (a soma dos deslocamentos infinit´simais f (t) dt). O quociente F (x+h)−F (x) d´-nos a velocidade m´dia do ponto e a e h dF material no intervalo de tempo [a, x], e , portanto, o limite, dx (x), destes quocientes quando h → 0 mede a velocidade instantˆnea do ponto no instante x. Logo a dF
(x) = f (x). dx Interpreta¸˜o Geom´trica ca e
Temos
x+h

F (x + h) − F (x) =

x

f (t) dt − a f (t) dt a x+h

=

a

f (t) dt + a x+h

=

f (t) dt x 1

f (t) dt x Logo x+h 1
F (x + h) − F (x)
=
h h f (t) dt x ´ uma m´dia dos valores de f no intervalo [x, x + h], que converge para f (x) quando e e h → 0.

Aplica¸˜o ca No applet seguinte pode controlar o tra¸ado (a branco) do gr´fico de uma fun¸˜o c a ca f (t), definida no intervalo I = [0, 10], enquanto vˆ ser desenhado (a azul) o gr´fico e a de uma sua primitiva, x F (x) = C +

f (t) dt .
0

No painel de defini¸˜es (Settings) pode escolher o valor inicial C = F (0) da co primitiva a desenhar.
Note que em cada instante x a varia¸˜o F (x) − C = F (x) − F (0) ´ exactamente ca e x igual ` ´rea verde menos a ´rea vermelha, isto ´, ao integral definido 0 f (t) dt. a a a e
Tamb´m igual a este integral ´ a ´rea do rectˆngulo ` esquerda, que tem largura e e a a a constante igual a 1 e altura correspondente ` esta varia¸˜o