ceentro de massa

T EMA

ESPECIAL

1

— CENTRO DE MASSA

O s Fu n d a mentos da F í si ca
(8 a edição)

RAMALHO, NICOLAU E TOLEDO
Tema especial
CENTRO DE MASSA
1.
2.
3.
4.
5.

Centro de gravidade e centro de massa, 1
Propriedade da concentração de massas, 3
Propriedade de simetria, 4
Velocidade do centro de massa, 7
Aceleração do centro de massa, 7

Editora Moderna Ltda.

1. CENTRO DE GRAVIDADE E CENTRO DE MASSA
Considere dois pontos materiais, 1 e 2, de pesos P1 e P2, localizados num eixo horizontal Ox. Sejam x1 e x2, respectivamente, suas abscissas (figura 1). Vamos localizar um ponto C do eixo Ox, de abscissa xC, em relação ao qual é nula a soma dos momentos de P1 e de P2. x2 MP1 ϩ MP2 ϭ 0 ϩP1d1 Ϫ P2d2 ϭ 0
P1d1 ϭ P2d2
P1(xC Ϫ x1) ϭ P2(x2 Ϫ xC)
(P1 ϩ P2)xC ϭ P1x1 ϩ P2x2

xC x1 C

1

2

m1

O

P1

m2

x
P2

d1

d2

ϩ

Ϫ

xC ϭ

Figura 1.

P1x 1 ϩ P2 x 2
P1 ϩ P2

O ponto C recebe o nome de centro de gravidade do sistema de pontos materiais 1 e 2.
Se os pontos 1 e 2 estiverem localizados numa barra de peso desprezível, suspendendo-se a barra pelo ponto C, o sistema fica em equilíbrio (figura 2).
Considerando no local o campo gravitacional uniforme, isto é, a aceleração da gravidade g constante, e sendo m1 e m2 as massas dos pontos 1 e 2, respectivamente, temos:
P1 ϭ m1g ‫ ܩ‬e P2 ϭ m2g ‫ܪ‬
Substituindo-se as expressões ‫ ܩ‬e ‫ ܪ‬na expressão ‫ ,ܨ‬temos: xC ϭ

m1gx 1 ϩ m2 gx 2 m1g ϩ m2 g

⇒

xC ϭ

m1x 1 ϩ m2 x 2 m1 ϩ m2

Neste caso, o centro de gravidade chama-se também centro de massa.

‫ܨ‬

1 m1 C

2

m2
P2

P1

Figura 2.

2

O S F U N DA M E N TO S

Dado um sistema de pontos materiais de massas m1, m2, ..., mi, ..., mn e de coordenadas cartesianas (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), ..., (xi, yi, zi), ..., (xn, yn, zn) que definem as posições desses pontos (figura 3), temos de modo geral que a posição do centro de massa C é definida pelas coordenadas cartesianas (xC, yC,