Cederj - Pre calculo gabarito AD1 questao 1 2015 2

AD 01 – Q1 – 2015-2

GABARITO

Pré-Cálculo

CEDERJ
GABARITO da Questão 1 da Avaliação a Distância 1
Pré-Cálculo

Questão 1 [3,5 pontos]:
Considere o polinômio
𝑝(𝑥) = 3𝑥 5 − 4𝑥 4 + 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 − 1 ,

𝑥∈ℝ

e a função 𝑔(𝑥), cujo gráfico está esboçado ao lado.

𝑝(𝑥) = (𝐴𝑥 + 𝐵)2 (𝐶𝑥 + 𝐷)(𝐸𝑥 2 + 𝐹𝑥 + 𝐺),

(a) [1,0] Sabendo-se que o polinômio pode ser escrito como determine as constantes 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺.

Atenção: este item não será considerado se não for apresentada a justificativa de como determinou as constantes. 𝑝(𝑥)

𝑀(𝑥) = 3+2𝑥−𝑥 2.

(b) [1,0] Analise o sinal da expressão

Lembre que analisar o sinal de uma expressão na variável real 𝑥 significa determinar para quais valores de
𝑥 a expressão se anula, para quais valores de 𝑥 a expressão é positiva e para quais valores de 𝑥 a expressão é negativa. Se usar uma tabela de sinais, descreva claramente o que se conclui da tabela.
(c) [1,5] Observando o gráfico da função 𝑔, dê o domínio e a imagem de 𝑔(𝑥), analise o sinal de 𝑔(𝑥) e usando
𝑔(𝑥)

esta análise de sinal de 𝑔(𝑥), determine o domínio da função

ℎ(𝑥) = √𝑝(𝑥).

Dê as respostas na forma de intervalo ou de união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos são os que não têm pontos em comum).
RESOLUÇÃO:
(a) Para determinar as constantes, vamos fatorar o polinômio.
1

As possíveis raízes racionais de 𝑝(𝑥) são:
±1, ± 3
(pois são os divisores do coeficiente do termo independente, −1, divididos pelos divisores do coeficiente do termo de maior grau, 3).
Testando se de fato são raízes,
𝑝(1) = 3(1)5 − 4(1)4 + (1)3 − 3(1)2 + 4(1) − 1 = 3 − 4 + 1 − 3 + 4 − 1 = 0,

logo 𝑥 = 1 é raiz de 𝑝(𝑥).

𝑝(−1) = 3(−1)5 − 4(−1)4 + (−1)3 − 3(−1)2 + 4(−1) − 1 = −3 − 4 − 1 − 3 − 4 − 1 = −16 ≠ 0, logo 𝑥 = −1 não é raiz de 𝑝(𝑥).
1 5
3

1
3

1 4
3

1 3
3

1 2
3

1
3

𝑝( ) = 3( ) −4( ) + ( ) − 3( ) + 4( ) −1 =

1
34

−

4
34

+

1
33

1
3

4
3

− + −1 = −

3
34

+

1
33

3
3

+ −1=0
1

logo 𝑥 = 3 é raiz de 𝑝(𝑥).
1

1 5

1