CalculoMatricial Parte2 GE1415 handout

2. Sistemas de Equações Lineares
2.1. De…nição. Generalidades
Um sistema de m equações lineares e n incógnitas, x1 , x2 , ..., xn , é um sistema da forma
8
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
>
>
>
< a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
..
>
.
>
>
: am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm onde os aij 2 IR são os coe…cientes do sistema e os bi 2 IR são os termos independentes, para i = 1, 2, ..., m e j = 1, 2, ..., n.

De acordo com o número de soluções, este sistema é classi…cado de: possível, se tem pelo menos uma solução, sendo
– determinado, se tem exactamente uma solução,
– indeterminado, se possui mais do que uma solução; impossível, se não tem qualquer solução.

Matemática Aplicada II (Gestão de Empresas)

I. Cálculo Matricial

ISCAC – 2014/2015

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Este sistema pode ser
2
a11
6 a21
6
6 ..
4 . am1 onde:

escrito na forma matricial do seguinte modo
32 3 2 3 a12 a1n x1 b1
6x2 7 6 b2 7 a22 a2n 7
76 7 6 7
..
.. 7 6 .. 7 = 6 .. 7 , AX = B
..
.
.
. 54 . 5 4 . 5

am2

amn

xn

bm

A é a matriz dos coe…cientes, que tem m linhas (tantas quantas as equações) e n colunas (tantas quantas as incógnitas);
X é a matriz coluna das incógnitas, que tem n linhas (tantas quantas as incógnitas); B é a matriz coluna dos termos independentes, que tem m linhas (tantas quantas as equações, pois temos sempre, exactamente, um termo independente por equação).
De…nição: Um sistema homogéneo é um sistema em que os termos independentes são todos iguais a zero.Quando escrito na forma matricial AX = B, tem-se B = 0.
Matemática Aplicada II (Gestão de Empresas)

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x 4y = 3
.
3x + y = 5

Exemplo: Consideremos o sistema de equações lineares
Resolvendo-o pelo método de substituição, obtemos x 4y = 3
3x + y = 5

,
,

,

————–
12y + 9 + y = 5
(

4
13

x =4 y= 4
13

x = 4y + 3
3 (4y + 3) + y = 5
————–
,
13y = 4

,
+3

,

,

x= y= 23
13

4
13

Este sistema tem, portanto, uma única solução, que é

.
23 ,
13

4
13

.

Logo é um sistema possível e