Calculo3 Transforma Es

NOTAS DE AULA

˜
TRANSFORMAC
¸ OES
Cl´audio Martins Mendes
Segundo Semestre de 2005

Sum´ ario 1 Transforma¸ co ˜es
1.1

2

Transforma¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1

Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Fluxos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3

Transforma¸co˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2

Teorema da Fun¸ca˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3

Teorema da Fun¸ca˜o Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1

Cap´ıtulo 1
Transforma¸co
˜es
At´e aqui trabalhamos com fun¸c˜oes f : R → R , f : R → Rn e f : Rn → R. Iremos nesta sec¸c˜ao iniciar uma generaliza¸c˜ao para f : Rn → Rm , para diferentes valores de n e
m. Algumas interpreta¸co˜es geom´etricas ou f´ısicas ser˜ao dadas para estes tipos de fun¸co˜es, muitas vezes chamadas de transforma¸co˜es.

1.1

Transforma¸co
˜es

Defini¸ c˜ ao 1.1.1. Sejam A ⊂ Rm e B ⊂ Rn . Uma transforma¸c˜ao de A em B ´e uma correspondˆencia que associa a cada elemento de A um u
´nico elemento de B .
Nota¸
c˜ ao: T :A→B

T

ou

A −→ B

Exemplos:
(1) T : R2 → R2
T (x, y) = (x, y 2 )

y✻

y✻
T✲
✲

2

x

✲

x

(2) T : R2 → R2
T (x, y) = (2x , x + 2y)
Notemos que T leva retas em retas y✻ y✻
T✲

✲

✲

x

x

(3)

T : R2 → R2
“enrola
esticando de fator a ”

T (x, y) = (sen x , cos xy , ex )

y✻

✠

✛ comprimento igual a 2π

(4)

T : [0, 2π] → R2

❨t

t → ( a cos t , a sen t )

✲

x

(a, 0)

(5) Transforma¸c˜ao de Kelvin ou Invers˜ao
Seja C = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 = 1}.
Dado P = 0 , sua imagem f (P ) ´e o ponto Q sobre o raio OP , tal que
−→

OP

·

−→

OQ

= 1. q O “exterior” de C ´e levado no “interior” de C e vice-versa.

P

Ela deixa invariante os pontos de C .
Ainda [ P → ∞] =⇒ [f (P ) → 0] q [P → 0] =⇒ [ f (P ) → ∞]

q

0
Seja P = (x, y). Vamos determinar as coordenadas de Q.
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